Condorcet-Methode

Vorzugswahlen
(Weitergeleitet von Condorcet-Gewinner)

Condorcet-Methoden (nach Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet) sind Vorzugswahlen, bei denen ein Kandidat zumindest dann gewinnt, wenn er jedem anderen Kandidaten im direkten Vergleich vorgezogen wird.

Möglicher Stimmzettel

Jeder Wähler ordnet die Kandidaten nach Rang, wobei mehrere Kandidaten auf demselben Rang möglich sind. Bei der Auswertung werden aus den Daten der Stimmabgaben Zweikämpfe simuliert, in denen jeder Kandidat gegen jeden anderen Kandidaten antritt. Dazu wird gezählt, wie oft ein Kandidat über seinem Gegner angeordnet ist. Wer jeden dieser Kämpfe gewinnt, ist Condorcet-Sieger.

Alle Condorcet-Methoden sind sich vollkommen einig über den Gewinner, wenn jemand Condorcet-Sieger ist. Sie unterscheiden sich darin, wen sie als Gewinner festlegen, wenn es keinen Condorcet-Sieger gibt.

Die Sozialwahltheorie untersucht und vergleicht u. a. unterschiedliche Aggregationsverfahren und deren Probleme und Vorzüge.

Dabei wird die Möglichkeit von taktischem Abstimmungsverhalten der Wähler mit dem Ziel, das für einen selbst bestmögliche Wahlergebnis durchzusetzen, nicht berücksichtigt. („Zwar wäre mir Kandidat A am liebsten, aber da er keine Aussicht hat zu gewinnen, stimme ich für Kandidat B, der für mich der zweitbeste ist.“) Derartige Überlegungen können bei realen Abstimmungen nicht ausgeschlossen werden.

DefinitionenBearbeiten

Gegeben sei eine Menge von Kandidaten  . Jeder teilnehmende Wähler   bringt nun diese Kandidaten in eine Präferenz-Totalordnung  , d. h. gibt an, welche Kandidaten er welchen anderen gegenüber bevorzugt bzw. welche er gleich einstuft. Wie üblich wird   für   geschrieben, sowie   für   und   und zuletzt   für  .

BevorzugungBearbeiten

Ein Kandidat   wird einem Kandidaten   gegenüber bevorzugt, falls es mehr Wähler   gibt, für die   ist als Wähler mit  , also falls

 

gilt.

Condorcet-SiegerBearbeiten

Wenn es einen Kandidaten gibt, der jeden anderen Kandidaten in einer paarweisen Abstimmung besiegt, wird dieser der Condorcet-Sieger genannt. (Einen solchen muss es nicht notwendigerweise geben, siehe unten.)

Condorcet-VerliererBearbeiten

Wenn es einen Kandidaten gibt, dem gegenüber alle anderen Kandidaten bevorzugt werden, ist dieser der Condorcet-Verlierer. (Auch diesen muss es nicht notwendigerweise geben.)

Condorcet-KriteriumBearbeiten

Ein Wahlverfahren (allgemein) erfüllt das Condorcet-Kriterium, wenn in den Fällen, wo es einen Condorcet-Sieger gibt, dieser auch Wahlsieger ist.

Condorcet-VerliererkriteriumBearbeiten

Ein Wahlverfahren (allgemein) erfüllt das Condorcet-Verliererkriterium, falls in den Fällen, in denen es einen Condorcet-Verlierer gibt, dieser sicher nicht gewählt wird.

Allgemeines Beispiel bei drei KandidatenBearbeiten

Es gebe die drei Kandidaten oder Optionen  ,   und  . Die Wähler müssen nun eine Präferenzliste angeben. Das Wahlergebnis sei:

1            
2            
3            
           

Also:   Personen wollten   lieber als   und   lieber als  ,   Personen haben die Präferenzliste  ,   Personen wollen   und so weiter. Dann ist   genau dann Sieger, wenn:

(1)  
und
(2)  .

Die erste Ungleichung heißt, dass   gegenüber   bevorzugt wird (denn  ,   und   werten   vor  , die anderen nicht), die zweite besagt, dass   auch   schlägt.

Wenn zum Beispiel  ,  ,   und   wären, wäre   Sieger, denn

(1)  
(  Leute sehen   vor  ,   sehen   vor  ) und
(2)  
(  Leute sehen   vor  , nur   sehen   vor  ).

Für den Fall, dass   und  , ergibt sich das Condorcet-Paradoxon.

Paradoxe EigenheitenBearbeiten

Es ist möglich, dass sich sowohl jeweils eine Mehrheit findet, die Kandidat   gegenüber   bevorzugt, sowie   gegenüber   als auch   gegenüber  . Dies nennt man das Condorcet-Paradoxon. Condorcet-Verteidiger führen an, dass dieser Widerspruch nicht aus einem Defekt der Wahlmethode resultiert, sondern dass Condorcet lediglich real existierende, sich verschieden zusammensetzende (und damit gar nicht so paradoxe) Mehrheiten aufzeigt.

Ein weiterer der Intuition widersprechender Aspekt ist die geringe Wichtigkeit der Erstwahl im Vergleich mit einer anderen Ranglistenmethode, Instant-Runoff-Voting (IRV). Es ist durchaus möglich, dass der Condorcet-Sieger von niemandem auf den ersten Platz gewählt wurde.

BeispieleBearbeiten

Es gebe   Wähler und   Kandidaten  ,   und  .

1            
2            
3            
           

Der Vergleich von Kandidatenpaaren:

  bevorzugt über    
  bevorzugt über    
  bevorzugt über    

Ein Condorcet-Paradoxon. Da der Sieg von   über   am unspektakulärsten ist, bietet sich an, diesen zu ignorieren. Dann ist   der Sieger.

Wenn ein Kandidat über die Hälfte Erstplatzierungen erhält, gewinnt dieser auch jeden Zweikampf. Wenn dem Wähler erlaubt ist, mehreren Kandidaten denselben Rang zu geben (und Condorcet-Fürsprecher treten dafür ein) und es mehrere Kandidaten mit über die Hälfte der Erstplatzierungen gibt, kommt der Sieger aus ebendieser Gruppe. Aber es ist dann nicht unbedingt der mit den meisten Erstplatzierungen, wie folgendes Beispiel mit   Wähler und   Kandidaten  ,   und   zeigt:

1            
2          
3            
           

Der Vergleich von Kandidatenpaaren:

  bevorzugt über    
  bevorzugt über    
  bevorzugt über    

Kandidat   wird zweimal über andere Optionen bevorzugt und gewinnt. Das liegt daran, dass Gleichplatzierungen im Prinzip wie Enthaltungen gewertet werden.

Wenn kein Kandidat mehr als die Hälfte der Erstplatzierungen erreicht, kann auch jemand ohne eine einzige Erstplatzierung zum Sieger werden. Ein besonders drastisches Beispiel mit   Wähler und   Kandidaten  ,  ,   und  :

1      
2      
3      
4      
     

Von den   möglichen Wahlentscheidungen werden hier nur die gezeigt, die Wählerstimmen erhalten. Der Vergleich von Kandidatenpaaren ergibt:

  bevorzugt über    
  bevorzugt über    
  bevorzugt über    
  bevorzugt über    
  bevorzugt über    
  bevorzugt über    

  gewinnt jedes Duell.   verliert jedes Duell.

Diese im Vergleich zu IRV sehr geringe Gewichtung der Erstplatzierungen bedeutet, dass der Wähler einem deutlich geringeren Druck ausgesetzt ist, einen Kompromiss mit guten Chancen über einen Favoriten mit schlechten Chancen zu stellen (geringer Spoilereffekt).

Verschiedene Condorcet-MethodenBearbeiten

Die derzeit am weitesten verbreitete Condorcet-Methode ist die Schulze-Methode. Sie wird unter anderem von der Piratenpartei Deutschland, Wikimedia, Debian, Gentoo, Software in the Public Interest (SPI) und Sender Policy Framework (SPF) benutzt.

WeblinksBearbeiten