Als club-Menge wird in der Mengenlehre eine Teilmenge einer Limesordinalzahl bezeichnet, die abgeschlossen und unbeschränkt (engl. closed und unbounded) ist.

Definition

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Sei   eine Limesordinalzahl. Eine Teilmenge   heißt

  • abgeschlossen, wenn für jede Folge   aus   gilt:
     
  • unbeschränkt, wenn für alle   ein   existiert mit  .

  heißt club-Menge, falls   sowohl abgeschlossen als auch unbeschränkt ist.

Beispiele

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Für   ist die Bedingung der Abgeschlossenheit trivialerweise erfüllt, weil es keine Limesordinalzahlen unter   gibt; club-Mengen von   sind also lediglich unbeschränkte, d. h. unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen.

Fasst man   und die Klasse der Ordinalzahlen   mittels der Ordnungstopologie als topologische Räume auf, so ist das Bild jeder stetigen, monoton steigenden Funktion   eine club-Menge.

Der club-Filter

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Ist die Konfinalität der Limesordinalzahl   überabzählbar,  , so ist der Schnitt zweier club-Mengen wieder eine club-Menge. Setzt man  , so bildet   also einen Filter, den club-Filter. Er hat unter anderem folgende Eigenschaften:

  •   ist  -vollständig: Ist   und   für  , so gilt
     
  • Ist   eine reguläre Kardinalzahl, so ist   abgeschlossen gegenüber sogenannten diagonalen Schnitten: Ist   eine Familie von club-Mengen aus  , so ist
     

Das zu   duale Ideal, definiert durch  , wird als Ideal der dünnen Teilmengen bezeichnet.

Eine Menge   heißt stationär, falls sie nicht dünn ist, also   gilt. Eine Menge ist genau dann stationär, wenn ihr Schnitt mit jeder club-Menge nicht leer ist.

Siehe auch

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Literatur

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