Charakteristische Funktion (Physik)

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Die charakteristischen Funktionen[1] (auch charakteristische Potentialformen genannt) bezeichnen in der Thermodynamik die totalen Differentiale (Änderungen) der thermodynamischen Potentiale.

Totale DifferentialeBearbeiten

Der inneren EnergieBearbeiten

Aus dem Ersten und Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik wird folgende Fundamentalgleichung für die innere Energie U hergeleitet:

 

Dabei ist S die Entropie, V das Volumen, T die absolute Temperatur und p der Druck.   steht für die Stoffmenge und   für das chemische Potential der Komponente  .

Der EnthalpieBearbeiten

Aus der Definition der Enthalpie H

 

folgt wegen  :

 

und mit der Fundamentalgleichung erhält man

 

und damit die charakteristische Funktion:

 

Der freien EnergieBearbeiten

Aus der Definition der freien Energie (Helmholtz-Energie) F:

 

folgt

 

Der Gibbs-EnergieBearbeiten

Aus der Definition der Gibbs-Energie (freien Enthalpie) G

 

folgt ferner

 

und damit die charakteristische Funktion

 

Des Großkanonischen PotentialsBearbeiten

Schließlich folgt aus der Definition des Großkanonischen Potentials   für Einstoffsysteme:

 

dass

 

Guggenheim-SchemaBearbeiten

 
Guggenheim-Quadrat

Zum praktischen Arbeiten kann man das Guggenheim-Quadrat benutzen. Hieraus erhält man alle oben genannten charakteristischen Funktionen bis auf die des Großkanonischen Potentials, welche aber sehr ähnlich der der Freien Energie ist.

Man findet die Relation, indem man das totale Differential aus der Mitte einer der vier Seiten des Schemas entnimmt und dann aus den gegenüberliegenden Ecken sowie den zwei benachbarten Feldern die rechte Seite abliest. Am Ende muss man stets den Summanden   hinzufügen.

Zum Beispiel entnimmt man   aus der oberen Seite, woraus das totale Differential   der linken Seite der Gleichung folgt. Schräg gegenüber liegt dann beispielsweise   und von diesem wiederum diagonal gegenüber  , was zum Ausdruck   führt. Analog erhält man den Summanden   mit der Besonderheit, dass, wenn der Koeffizient des Summanden auf der linken Seite des Quadrats liegt, ein negatives Vorzeichen vorangestellt wird. Dies gilt jedoch nur für Koeffizienten. Es ergibt sich damit wie oben erwähnt

 .

Merksprüche für das Quadrat finden sich unter: Guggenheim-Quadrat (Merksprüche)

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Rolf Haase: Thermodynamik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-97761-9 (google.de [abgerufen am 15. Dezember 2020]).