Chapman-Kolmogorow-Gleichung

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeiten bei Markow-Ketten oder allgemeiner bei Markow-Prozessen. Die differentielle Schreibweise der Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist als Mastergleichung bekannt.

Markow-KettenBearbeiten

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung für Markow-Ketten stellt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zustandes   nach   Schritten, beginnend im Zustand  , als Summe möglicher Wege mit Zwischenstation   dar. Formal bedeutet dies:[1]

Sei   eine Markow-Kette mit Übergangsmatrix   und Zustandsraum  .

Dann gilt für alle  

 .

Der Beweis der Gleichung wird in der Regel wie folgt geführt:

Unter Anwendung der Definition der Matrizenmultiplikation auf die Übergangsmatrix   ergibt sich

 

wobei bei   ausgenutzt wurde, dass   für alle   mit   gilt.

Markow-ProzesseBearbeiten

Für einen allgemeinen Markow-Prozess mit der Halbgruppe   von Übergangskernen lässt sich die Chapman-Kolmogorow-Gleichung auch kurz schreiben als[2]

 

wobei   die Komposition von Kernen bezeichnet. Induktiv lässt sich daraus herleiten, dass

 

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 354.
  2. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 291.