Benutzer:WonderBlood/Studium/Geodäsie/Ausgleichsrechnung nach MdkQ

Überschüssige Beobachtungen, Widersprüche, Ausgleichung

Ausgangssituation für eine Ausgleichsrechnung

Vorteile der Überbestimmung / von Zusatzmessungen

• Kontrolle gegen grobe Fehler (geometrische Zuverlässigkeit):
  • Beobachtungen / Messungen
  • Grundlagen (z.B. Koordinatenverzeichnis)
  • bei der Berechnung
• Nachweis über die erreichte Genauigkeit möglich (empirische Standardabweichung m)
• Genauigkeitssteigerung gegenüber einfacher Bestimmung

Nachteile der Überbestimmung

Beobachtungen enthalten Widersprüche (Numerische Differenzen, die beim Messen des gleichen Punktes zwischen Erstmessung und Nachfolgemessung entstehen) in den Messdaten infolge von zufälligen Messabweichungen

Beispiele

Winkelmessung mit Horizontschluss (einmal rum)

• Soll: $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=400.0000gon$
• Ist: $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=400.0000gon+W$ ($W$ = Widerspruch)

Verteilung der Widersprüche durch Anbringen von Verbesserungen an jeden Messwert:

• $(\alpha _{1}+v_{1})+(\alpha _{2}+v_{2})+(\alpha _{3}+v_{3})=400.0000gon$

Durchführen der Ausgleichung ergibt

• ${\overline {\alpha _{1}}}+{\overline {\alpha _{2}}}+{\overline {\alpha _{3}}}=400.0000gon$

Nivellement

• Linie ohne Überbestimmung ($f=n-u=0$): keine Widersprüche → keine Ausgleichung möglich
• Linie mit Überbestimmung ($f=3-1=0$): Ausgleichung über $\sum pvv=minimum$

Anzahl Beobachtungen / Unbekannte für Freiheitsgrad

Anzahl Beobachtungen n

Methode	Beobachtung
Nivellement (geometrisches Nivellement)	Anzahl Höhendifferenzen
Winkelmessung	Anzahl gemessener Winkel
Distanzmessung	gemessene Distanzen
Trigonometrische Höhen (trigonometrisches Nivellement)	Anzahl berechneter Höhendifferenzen
GNSS	z.B. Anzahl Höhensätze

Anzahl Unbekannte u

Messmethode	Unbekannte
Nivellement (geometrisch)	Anzahl Neupunkthöhen
Winkelmessung	Orientierungsunbekannte
Distanzmessung	Maßstabsunbekannte

Ausgleichung nach M.d.k.Q

• Eindeutige Lösung mit $\sum _{}pvv=v^{T}\cdot P\cdot v=min.$
• Wahl der Verbesserungen V so, dass Widersprüche W verschwinden und die Summe pvv zu einem Minimum wird
• MdkQ: Eindeutige und einheitliche Vorschrift zur Ausgleichung von Widersprüchen in Beobachtungen

Begriff der Ausgleichung

• Beseitigen von Widersprüchen durch Anbringen von Verbesserungen an den Beobachtungen

Vermittelnder und bedingter Ausgleichungsansatz

Allgemein kann man zwischen Zwei Methoden bzw. Mischformen zur Ausgleichung unterscheiden:

• Vermittelnde Ausgleichung
• Bedingte Ausgleichung
• Vermittelnde Ausgleichung mit Bedingungen
• TBD

Bedingter Ansatz

• Die Bedingungsgleichung schreibt für eine Beobachtung eine Bedingung vor (z.B. Winkelsumme 400 gon)

Vermittelnder Ansatz

• Die Beobachtungsgleichung dient der Modellierung unbekannter Parameter (Unbekannte genannt)