Rationale und irrationale Zahlen

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Quadratwurzeln

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Problemstellung

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  • In der 7. Klasse hat man gelernt die Gleichung   zu lösen.
  • In der 8. Klasse hat man die Zuordnung (Funktion) mit dem Funktionsterm   behandelt (lineare Funktion).
    • graphische Darstellung (Gerade)
    • Nullstellen
    • Schnittpunkt zweier Geraden (lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten)
  • Welche Lösung hat die einfache quadratische Gleichung   oder die allgemeine quadratische Gleichung  ?

Die Quadratwurzel der Zahl 2

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  • Bestimmung der Lösung der quadratischen Gleichung  
  • Bestimmung einer Näherungslösung mit Tabellenkalkulation
  • Die exakte Lösung   und  

Definition der Quadratwurzel

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  •   und  

Die Quadratwurzel aus einer nicht negativen rationalen Zahl r ( ) ist die nicht negative Lösung der Gleichung  , also diejenige nicht negative Zahl  , deren Quadrat   ergibt.

  •   heißt Radikand der Wurzel.
  •   Ist der Radikand das Quadrat einer beliebigen rationalen Zahl ist die Wurzel ebenfalls eine rationale Zahl, die nicht negativ sein darf.

Irrationale Zahlen und die Menge der reellen Zahlen

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  • Ist der Radikand einer Wurzel nicht das Quadrat einer rationalen Zahl, ist der Wert der Wurzel eine irrationale Zahl
  • Eine irrationale Zahl ist ein **unendlicher nicht periodischer Dezimalbruch** der einer unendlichen Intervallschachtellung entspricht. (Tabellenkalkulationblatt)
  • Rationale Zahlen   bilden zusammen mit den irratioinalen Zahlen   die reelllen Zahlen  .
  • Näherungswerte von Wurzeln lassen sich durch das Heronverfahren berechnen. (Tabellenkalkulationsblatt, Heron von Alexandria)
  • TheSimpleMaths

Umgang mit Wurzeltermen

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TheSimpleMaths

Näherungswerte

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  • Der Term   lässt sich nicht weiter zusammenfassen, sondern nur näherungsweise berechnen.
  •  

Produkt bzw. Quotient von Wurzeln

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  • Produkte und Quotienten von Wurzeln lassen sich zusammenfassen.
  •  
  •  

Umformen von Summen und Differenzen von Wurzeln

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  • Summen und Differenzen von Wurzeln lassen sich zwar nicht zusammenfassen, aber durch Ausklammern umformen.
  •  

Teilweises Radizieren

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  • TheSimpleMaths
  •  

Rationalmachen des Nenners

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  • War interessant, als es noch keine Taschenrechner gab, da es problematisch war durch ein irrationale Zahl zu teilen. Heutzutage eher kosmetisch.
  •  

Die Satzgruppe des Pythagoras

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Der Satz des Pythagoras

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Formulierung

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  • In einem rechtwinkligen Dreieck gilt, dass das Quadrat über der Hypotenuse c, also der Seite gegenüber dem rechten Winkel, die gleiche Fläche wie die Summe der Quadrate über den Katheten a und b hat.
  •  

Weitere Flächensätze zum rechtwinkligen Dreieck

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Formulierungen und Beweise siehe Wikipedia

Berechnungen mit den Flächensätzen am rechtwinkligen Dreieck

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  • Im Schulbuch befinden sich unter der Rubrik "Zeig, was du kannst!" interessante Aufgaben mit Lösungen zu dem Thema.
  • Bei Berechnungen mit den Flächensätzen geht es darum, rechtwinklige Dreiecke zu erkennen und die insgesamt 4 Flächensätze so anzuwenden, dass jeweils Gleichungen mit lediglich einer Unbekannten entstehen.

Quadratische Funktionen

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Parabeln als Funktionsgraphen

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  • Die Normal-Parabel mit der Funktionsgleichung   kann durch einen Öffnungsfaktor a unterschiedliche Öffnung erhalten (  mit   enger,   weiter,   nach unten).
  • Durch eine additive Konstante   wird die Parabel  in Richtung der y-Achse nach oben (  )oder nach unten ( ) verschoben ( ).
  • Durch eine Konstante   wird die Parabel  in Richtung der x-Achse nach rechts (  )oder nach links ( ) verschoben ( ).
  • Die Parabel mit der Funktionsgleichung   (Scheitelpunktsform)lässt sich in   umformen.
  • Die Funktionsgleichung   wird allgemeine Form der Parabelgleichung genannt, wobei   und   gilt.
  • Aus der allgemeine Form   der Parabelgleichung lässt sich aus   und   der Scheitel der Parabel berechnen und somit die Scheitelpunktsform aufstellen.
  • Erarbeitung der allgemeine Form der Parabelgleichung in einem Tabellenkalkulationsprogramm mit Anwendung
  • Schräger Wurf als Anwendung (Basketballwurf, Animation)

Binomische Formeln und quadratische Ergänzung

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  • Bei der Umwandlung der Scheitelpunktsform   einer quadratischen Funktion in die allgemeine Form muss mit   das Quadrat einer Differenz ausmultipliziert werden.
  • Für das Ausmultiplizieren von Quadraten von Differenzen und Summen gelten die binomischen Formeln:
    •  
      Herleitung: 
    •  
      Herleitung: 
    •  
      Herleitung: 
    • Aufgaben:
      •  
      •  
      •  

Lösen quadratischer Gleichungen

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Herleitung der Lösungsformel

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  • Eine Gleichung   mit den reellen Koeffizienten   und der Unbekannten   wird quadratische Gleichung genannt.
  • Durch quadratische Ergänzung kann die Lösung einer quadratischen Gleichung ermittelt werden.(Lösungsformel mit Tabellenkalkulation)

Lösung mit der Lösungsformel

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  • In die Lösungsformel werden die Koeffizienten der quadratischen Gleichung eingesetzt.
  • Lösungsweg für quadratische Gleichungen im Internet

Lösung einfacher Spezial-Fälle

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  • Für   kann die quadratische Gleichung durch Umstellen gelöst werden.
  • Für   kann die quadratische Gleichung durch Ausklammern von   (Faktorisierung) gelöst werden.
  • In besonderen Fällen kann die quadratische Gleichung durch die direkte Anwendung der 1. oder 2. binomischen Formel gelöst werden (  und   haben in diesem Fall die gleiche Lösung.)

Schnitt von Parabeln mit Geraden

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Kalkulation

Geometrische Körper-Oberflächen

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Prisma und Zylinder

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  • Prisma und Zylinder haben jeweils gleiche Grund- wie Deckfläche, beim Prisma ein Vieleck und beim Zylinder ein Kreis.
  • Der Mantel von Prisma und Zylinder ist jeweils ein Rechteck mit der Höhe von beiden als eine Seite. Die andere Seite entspricht beim Prisma dem Umfang des Vielecks und beim Zylinder dem Kreisumfang.
  • Die Oberfläche setzt sich bei beiden aus Grund- und Deckfläche und dem Mantel zusammen:  .
  • Grund- und Deckfläche des jeweiligen Vielecks sind beim Prisma nur in besonderen Fällen berechenbar (Dreieck, Rechteck). Ein Prisma mit einem Rechteck als Grundfläche ist ein Quader.
  • Für die Oberfläche eines Zylinders mit dem Radius   und der Höhe   gilt:  .

Pyramide und Kegel

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  • Pyramide und Kegel haben lediglich eine Grundfläche, keine Deckfläche, weshalb für die Oberfläche gilt:  .
  • Der Mantel bei einem Kegel entspricht einem Kreissektor mit der Kante   des Kegels als Radius und den Umfang des Kreises der Grundfläche (Kreis mit Radius  ) des Kegels als Bogenlänge des Sektors (Skizze, Berechnung des Winkels des Kreissektors).
    • Der Winkel des Kreissektors verhält sich zu 360°wie die Fläche des Sektors zur Gesamtfläche des entsprechenden Kreises:
       
    • Es gilt aber auch, dass der Winkel des Kreissektors sich zu 360°wie der Kreisbogen des Sektors (entspricht dem Umfang der Grundfläche des Kegels) zum Umfang des entsprechenden Kreises verhält:
    •  
    •   (Video zur Berechnung des Mantel eines Kegels).
  • Für die Oberfläche eines Kegels mit Radius   und Kante   ergibt sich:   (Webseite zur Berechnung der Oberfläche eines Kegels)
  • Die Oberfläche von Pyramiden lässt sich vernünftig nur für gerade Pyramiden (alle Seitenkanten sind gleich.) mit einer rechteckigen oder sogar quadratischen Grundfläche berechnen (Video zur Oberfläche einer Pyramide , Webseite zur Berechnung der Oberfläche einer Pyramide)
  • Insbesondere interessant ist die Berechnung der Oberfläche einer geraden quadratischen Pyramide aus der Länge einer Quadratseite und einer Kante oder der Höhe der Pyramide (Kalkulation)

Geometrische Körper - Volumen

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Volumen von Prisma und Zylinder

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  • Volumen ist direkt proportional zur Höhe.
  •  
  •  
  • Übungsaufgabe Buch S.156 Nr.1

Volumen von Pyramide und Kegel

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  • Volumen ist nicht direkt proportional zur Höhe.
  • Herleitung des Volumens einer Pyramiden durch Scheiben (Tabellekalkulation)
    •  
    •  
    •  
    • Summe von Quadratzahlen:   (Tabellenkalkulation)
    •   für n unendlich groß
  • Herleitung des Volumens einer Pyramide durch Zerlegung eines Würfels in Pyramiden
  •  
  • Ein Kegel lässt sich durch eine Pyramide mit einer Grundfläche als ein reguläres Vieleck mit beliebig vielen Ecken annähern, sodass auch für den Kegel   gilt,

Erweiterung des Potenzbegriffs

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Einführende Aufgabe

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Welchen Durchmesser muss ein halbkreisförmiger Bogen haben, damit der aus ihm geformte Kegel ein Volumen von einem Liter hat. Lösung:

 

  und   müssen durch die gegebenen Kegelkante   ersetzt werden.

 

 

 

 

 

Definition

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  •  ,  
  •  
  •  
  • Beispiel für 3. Wurzel:   oder  

Potenzgesetze

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  und  

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Winkelsätze im rechtwinkligen Dreieck - Trigonometrie

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Formulierung der Sätze

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Wikipedia

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem rechten Winkel   und der Hypotenuse  , Ankathete   und Gegenkathete   gilt für den Winkel  :

  •  
  •  
  •  
  • Die jeweiligen Werte für den Winkel   sind im Taschenrechner für die verschiedenen trigometrischen Funktionen sin, cos, und tan im Gradmaß abgespeichert (Die meisten Taschenrechner können auf Degree eingestellt werden.)
  • Tabellenkalkulationsprogramme, Taschenrechner auf dem Smartphone und andere Computerprogramme können nicht mit dem Gradmaß rechnen, sondern rechnen im sogenannten Bogenmaß , bei dem ein Winkel über die Länge des entsprechenden Kreisbogens zu dem Winkel mit einem Radius 1 gemessen wird. Ein Winkel von 360° hat damit das Bogenmaß  , ein Winkel von 180° damit   und ein 90°-Winkel das Bogenmaß  .
  • Allgemein gilt für die Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß : Winkel im Gradmaß=Winkel im Bogenmaß/ *360

Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen

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  • Komplementbeziehung:   bzw.  
  • Die Komplementbeziehung gilt, weil die Winkel zwischen den Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck wegen der Winkelsumme im Dreieck zusammen 90° ergeben müssen.
  • trigonometrischer Pythagoras:  \\

Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich jeweils als Produkt aus sin und cos eines Winkels zwischen der Hypotenuse und einer Kathete darstellen, was zusammen mit dem Pytagoras den trigonometrischen Patagoras ergibt.\\  

Besondere Werte für spezielle Winkel

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  •  
  •  
  •  
  •  
  • Nachweis über gleichschenklige (45°) und gleichseitige (60°) Dreiecke.

Übungsaufgaben zu den trigonometrischen Beziehungen

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Berechnung der Winkel einer Diagonalen in einem Rechteck

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Aufgaben Schulbuch

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Siehe Aufgaben-Wiki

Vermessungsaufgaben

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Zusammengesetzte Zufallsexperimente

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