Benutzer:StollenTroll/SpinorAlgebra

Spinoren und die Relativitätstheorie

Spinoren ergeben sich in einer Natürlichen weise aus der Minkowski-Raumzeit: Betrachtet man einen Lichtkegel in der Raumzeit, und schneidet diesen mit einer Zeitartigen Hyperebene $(T=1,0,0,0)$ so ist die Schnittmenge des Lichtkegels mit der Hyperebene eine 3-Sphäre. Durch die Projektion der 3-Sphäre auf die Argnd-Ebene erhällt man für jeden punkt $(1,x,y,z)$ auf der 3-Sphäre einen Punkt $\zeta$ auf der Ebene, der durch eine Komplexe Zahl representiert wird. Damit auch der Punkt im Unendlichen durch endliche Zahlen dargestellt werden kann, schreibt man of $\zeta =\xi /\eta$. Wir haben also eine Relation, die jedem Raumzeitpunkt $(1,x,y,z)$ einen eindeutigen punkt $\zeta$ in der Argand-Ebene zuweist. Durch einen überganz zu Projektiven Komplexen koordinaten haben wir eine darstellung $(1,x,y,z)\mapsto (\xi ,\eta )$.

Axiomatische Fassung algebraischen Regeln

Bezeichne ${\mathfrak {S}}^{\cdot }$ den Spin-Raum der Spin-Vektoren, und $\mathbb {C}$ den Körper der Komplexen Zahlen. Wir postulieren folgende 3 Axiome:

• Skalare Multiplikation: $\mathbb {C} \times {\mathfrak {S}}^{\cdot }\rightarrow {\mathfrak {S}}^{\cdot }$

(d.h. für jedes $\lambda \in \mathbb {C}$ und ${\boldsymbol {\kappa }}\in {\mathfrak {S}}^{\cdot }$ gibt es ein Element $\lambda {\boldsymbol {\kappa }}\in {\mathfrak {S}}^{\cdot }$;)

• Addition: ${\mathfrak {S}}^{\cdot }\times {\mathfrak {S}}^{\cdot }\rightarrow {\mathfrak {S}}^{\cdot }$

(d.h. für jedes ${\boldsymbol {\kappa }},{\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {S}}^{\cdot }$ haben wir genau ein Element $({\boldsymbol {\kappa }}+{\boldsymbol {\omega }})\in {\mathfrak {S}}^{\cdot }$;)

• Inneres Produkt: ${\mathfrak {S}}^{\cdot }\times {\mathfrak {S}}^{\cdot }\rightarrow \mathbb {C}$

(d.h. für jedes ${\boldsymbol {\kappa }},{\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {S}}^{\cdot }$ haben wir genau ein element $\{{\boldsymbol {\kappa }},{\boldsymbol {\omega }}\}\in \mathbb {C}$;)

Rechenregeln für die Spin-Vektoren

${\begin{aligned}\lambda (\mu {\boldsymbol {\kappa }})&=(\lambda \mu ){\boldsymbol {\kappa }}\\1{\boldsymbol {\kappa }}&={\boldsymbol {\kappa }}\\0{\boldsymbol {\kappa }}&={\boldsymbol {0}}\\(-1){\boldsymbol {\kappa }}&=-{\boldsymbol {\kappa }}\\(\lambda +\mu ){\boldsymbol {\kappa }}&=(\lambda {\boldsymbol {\kappa }})+(\mu {\boldsymbol {\kappa }})\\{\boldsymbol {\kappa }}+{\boldsymbol {\omega }}&={\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\kappa }}\\({\boldsymbol {\kappa }}+{\boldsymbol {\omega }})+{\boldsymbol {\tau }}&={\boldsymbol {\kappa }}+({\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\tau }})\\\lambda ({\boldsymbol {\kappa }}+{\boldsymbol {\omega }})&=(\lambda {\boldsymbol {\kappa }})+(\lambda {\boldsymbol {\omega }})\\\{{\boldsymbol {\kappa }},{\boldsymbol {\omega }}\}&=-\{{\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\kappa }}\}\\\lambda \{{\boldsymbol {\kappa }},{\boldsymbol {\omega }}\}&=\{\lambda {\boldsymbol {\kappa }},{\boldsymbol {\omega }}\}\\\{{\boldsymbol {\kappa }}+{\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\tau }}\}&=\{{\boldsymbol {\kappa }},{\boldsymbol {\tau }}\}+\{{\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\tau }}\}\\\end{aligned}}$

Weiter gilt die Regel
$\{{\boldsymbol {\kappa }},{\boldsymbol {\omega }}\}\tau +\{{\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\tau }}\}\kappa +\{{\boldsymbol {\tau }},{\boldsymbol {\kappa }}\}\omega =0$