Benutzer:Sigma^2/Multiples Testen

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Vereinigungs-Durchschnitts-Test und Durchschnitts-Vereinigungs-Test

Casella/Berger: Abschnitte 8.2.3 und 8.3.3

Durchschnitts- versus Vereinigungshypothese

Bei einem einzelnen Test mit der parametrischen Nullhypothese $H_{0}:\theta \in \Theta _{0}$ liegt eine einfache Nullhypothese vor, falls die Parametermenge $\Theta _{0}$ einelementig ist, und eine zusammengesetzte Nullhypothese, falls die Parametermenge $\Theta _{0}$ mehrere Elemente enthält. Eine einfache Nullhypothese ist beispielsweise $H_{0}:\theta =\theta _{0}$ und eine zusammengesetzte Nullhypothese ist beispielsweise $H_{0}:\theta \leq \theta _{0}$ jeweils mit einem spezifizierten Parameterwert $\theta _{0}$. Im ersten Fall ist $\Theta _{0}=\{\theta _{0}\}$, im zweiten Fall ist

$\Theta _{0}=(-\infty ,\theta _{0}]=\bigcup _{\theta \in (-\infty ,\theta _{0}]}{\{\theta \}}\;.$

Eine zusammengesetzte Nullhypothese ist also immer als Vereinigungshypothese mit einelementigen Parametermengen darstellbar. Typischerweise, aber nicht immer, kann der Test einer zusammengesetzten Nullhypothese der Form $H_{0}:\theta \leq \theta _{0}$ durch den einseitigen Test der einfachen $H_{0}:\theta =\theta _{0}$ bzgl. der Gegenhypothese $H_{0}:\theta >\theta _{0}$ erfolgen. Damit dieses Vorgehen zulässig ist, müssen bestimmte Monotonieeigenschaften erfüllt sein, die beispielsweise durch das Karlin-Rubin-Theorem beschrieben sind.

Tong-Ungleichung

Bei bestimmten Formen der Abhängigkeit ist die Tong-Ungleichung anwendbar.