Benutzer:Scorpion2211/Übungen/Mathe/Blatt10

20a: (keine Ahnung, ich hoffe datt funzt so)

Die Funktion selbst ist keine Treppenfunktion.

z.z. ${\mathcal {9}}$ Folge von Treppenfkt. mit ${\mathcal {k}}f-\phi _{n}{\mathcal {k}}\to 0$

für jedes $n\in \mathbb {N}$ ist f auf $\left[{1 \over n},1\right]$ eine Treppenfunktion

${\mathcal {j}}f(x)\leq {1 \over n}$ für $x\in \left[0,{1 \over n}\right]$

$\phi (x)=0$ für $x\in \left[0,{1 \over n}\right)$ $\phi (x)=f(x)$ für $x\in \left[{1 \over n},1\right]$

z.z. zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es ein $N\in \mathbb {N}$, sodass ${\mathcal {j}}f(x)-\phi _{n}{\mathcal {j}}<\,\varepsilon \,\forall \,x\,\in [0,1]$ und $\forall \,n\geq N$

Sei N so gewählt, dass $\varepsilon >{1 \over N}$

für $\phi _{n}\left(x\in \left[{1 \over n},1\right]\right)=f(x)$

$\Rightarrow \left|f(x)-\underbrace {\phi _{n}\left(x\in \left[{1 \over n},1\right]\right)} \right|<\varepsilon$
                                 $=f(x)$

$\left|f(x)-f(x)\right|=0<\varepsilon \qquad {\mathcal {p}}$

für $\phi _{n}\left(x\in \left[0,{1 \over n}\right)\right)=0$
$\Rightarrow \left|f(x)-\phi _{n}\left(x\in \left[0,{1 \over n}\right)\right)\right|<\varepsilon$
$\Rightarrow |f(x)|\leq {1 \over n}<\varepsilon$ (das wurde so gewählt, s.o.) ${\mathcal {p}}$