Benutzer:SMESH/Empezado el queso hay que comerlo.

Vorbedingungen

(Quelle: Blogeintrag)

• Wer A sagt, muss auch B sagen
• Wer B sagt, darf weder A noch D sagen
• Wer D sagt, muss A genau dann sagen, wenn er C sagt
• Wer nicht A sagt, muss D sagen

Herleitung

Ausführung von SMESH anhand des Blogbeitrags

1. Bedingung

Wer A sagt, muss auch B sagen:

$A\Rightarrow A\cap B$

2. Bedingung

Wer B sagt, darf weder A noch D sagen:

$B\Rightarrow {\overline {A\cup D}}$

3. Bedingung

Wer D sagt, muss A genau dann sagen, wenn er C sagt:

$D\Rightarrow A\equiv C$

4. Bedingung

Wer nicht A sagt, muss D sagen:

${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {A}}\cap D$

Fragestellung

Was muss man eigentlich sagen? Was darf man nicht sagen?

Einzelbetrachtung

1. Fall

Sagt man A, gilt:

${\begin{aligned}&A\\\Rightarrow &A\cap B\\\Rightarrow &A\cap {\overline {A\cup D}}\\=&{\color {Red}A\cap {\overline {A}}}\cap {\overline {D}}\end{aligned}}$

☇ Widerspruch! => A darf man nicht sagen.

2. Fall

Sagt man B, gilt:

${\begin{aligned}&B\\\Rightarrow &B\cap {\overline {A\cup D}}\\=&B\cap {\overline {A}}\cap {\overline {D}}\\\Rightarrow &B\cap ({\overline {A}}\cap {\color {Red}D}){\color {Red}\cap {\overline {D}}}\end{aligned}}$

☇ Widerspruch! => B darf man nicht sagen.

3. Fall

Sagt man C, gilt:

• für den Fall $D\!\,$:

${\begin{aligned}&C\cap D\\\Rightarrow &C\cap D\cap A\end{aligned}}$

Da A nicht gültig => C darf man nicht sagen, wenn $D\!\,$

• für den Fall ${\overline {D}}$:

${\begin{aligned}&C\cap {\overline {D}}\\=&(C\cap {\overline {A}}\cap {\overline {B}}\cap {\overline {D}})\cup (C\cap A\cap {\overline {B}}\cap {\overline {C}})\cup (C\cap B\cap {\overline {A}}\cap {\overline {D}})\cup (C\cap A\cap B\cap {\overline {D}})\\\end{aligned}}$

Teiluntersuchung:

• • ${\begin{aligned}&(C\cap {\overline {A}}\cap {\overline {B}}\cap {\overline {D}})\\\Rightarrow &(C\cap ({\overline {A}}\cap {\color {Red}D})\cap {\overline {B}}{\color {Red}\cap {\overline {D}}})\end{aligned}}$

=> ☇ Widerspruch!

• • $(C\cap A\cap {\overline {B}}\cap {\overline {C}})$ siehe 1. Fall => da A nicht gültig, ist komplette Teilaussage nicht gültig

• • $(C\cap B\cap {\overline {A}}\cap {\overline {D}})$ siehe 2. Fall => da B nicht gültig, ist komplette Teilaussage nicht gültig

• • $(C\cap A\cap B\cap {\overline {D}})$ siehe 1. Fall => da A nicht gültig, ist komplette Teilaussage nicht gültig

Keine Teilaussage gültig => C darf man nicht sagen, wenn ${\overline {D}}$

=>

C darf man in keinem Fall sagen.

4. Fall

Sagt man D, gilt:

• für den Fall $C\!\,$:

${\begin{aligned}&D\cap C\\\Rightarrow &D\cap C\cap A\\\end{aligned}}$

Da A nicht gültig => D darf man nicht sagen, wenn $C\!\,$

• für den Fall ${\overline {C}}$:

${\begin{aligned}&D\cap {\overline {C}}\\=&(D\cap {\overline {A}}\cap {\overline {B}}\cap {\overline {C}})\cup (D\cap A\cap {\overline {B}}\cap {\overline {C}})\cup (D\cap B\cap {\overline {A}}\cap {\overline {C}})\cup (D\cap A\cap B\cap {\overline {C}})\\\end{aligned}}$

Teiluntersuchung:

• • ${\begin{aligned}&(D\cap {\overline {A}}\cap {\overline {B}}\cap {\overline {C}})\\\Rightarrow &(D\cap ({\overline {A}}\cap D)\cap {\overline {B}}\cap {\overline {C}})\\\Rightarrow &(D\cap ({\overline {A}}\cap D)\cap D)\cap {\overline {B}}\cap {\overline {C}})\\\Rightarrow &(D\cap ({\overline {A}}...\end{aligned}}$

=> immer durchführbar, keine sonstige Voraussetzung => $(D\cap {\overline {A}}\cap {\overline {B}}\cap {\overline {C}})$ ist gültig!

• • $(D\cap A\cap {\overline {B}}\cap {\overline {C}})$ siehe 1. Fall => da A nicht gültig, ist komplette Teilaussage nicht gültig

• • $(D\cap B\cap {\overline {A}}\cap {\overline {C}})$ siehe 2. Fall => da B nicht gültig, ist komplette Teilaussage nicht gültig

• • $(D\cap A\cap B\cap {\overline {C}})$ siehe 1. Fall => da A nicht gültig, ist komplette Teilaussage nicht gültig

erste Teilaussage gültig => $D\cap {\overline {C}}$ gültig!

Ergebnis

$D\cap {\overline {C}}$ ist die einzig gültige Möglichkeit.

Lösung

Man muss D sagen und zugleich darf man nicht C sagen.