Benutzer:Roomsixhu/Kontinuum

Vorschlag Ersatztext Bearbeiten

Als Ergebnis einer Begriffsbildung über Unbegrenztes und das Kontinuum, kommt Aristoteles zu dem Ergebnis, einer Art Äquivalenzbetrachtung, daß nur in der kontinuierlichen Zeit eine kontinuierliche Strecke durchlaufen werden könne. Unendliches kann nicht in endlicher Zeit durchlaufen werden.

Nach einer logischen Grundlegung können (bestimmte) Größen ebensowenig aus Unteilbarem bestehen, da sich widersprüchliche Konsequenzen ergäben. Z. B. wenn eine teilbare Linie aus unteilbaren Punkten bestünde: Für Unteilbares müßte das Dazwischenliegende teilbar sein, für Teilbares (z.B. teilbare Punkte) dürfte nichts Gleichartiges dazwischen liegen (die Linien zwischen ausgedehnten Punkten müßten unteilbar sein)

Die weitere Begriffbildung beschäftigt sich erstens mit dem Unbegrenzten. Aristoteles reglementiert die Widersrpüchlichkeit des Begriffes und untersucht ihn für:

Zahlen (sind unbegrenzt in Bezug auf die unteilbare Einheit. 8 zu 1, 9 zu 1, 10 zu 1 läßt sich unbegrenzt fortsetzen)
Größen (Intervalle) (sind unbegrenzt teilbar und grenzen aber immer an andere Größen und sind bestimmt oder endlich, nicht vergrößerbar).
Proportionen (läßt er ununtersucht).

Zweitens legt er das Kontinuierliche nach sechs Begriffen fest:

Zugleich (etwas in einem Ort)
Gesondert (in zwei Orten)
Berühren (Etwas berührt sich in den äußeren Enden)

Woraus die Begriffe:

Dazwischenliegende (Logisch motiviert kommt es begrifflich den Gegensätzen dem Orte nach zu)
Nächstfolgende (Nichts gleichartiges liegt dazwischen: Linie folgt auf Linie, ein Haus auf ein Haus)
Sichberühren (Nächstfolgendes wird zu einem Ganzen vereint (verklebt))

entwickelt werden. Beim Kontinuierlichen dürfen aber auch die äußersten Enden nicht zwei sein.

Relevant werden in diesem Sinne dann die Folgerungen:

Punkte sind auch keine nächstfolgenden, so dass aus ihnen Länge bestünde. Physik VI 1 (p 231 a 18 - 232 a 222)
Er zeigt dann weiter dass aus Punkten (Unteilbarem) nichts Kontinuierliches werden kann. VI 1 (p 231 a 18 - 232 a 22). (Das gilt für die Dichotomie, wenn das Rennen nicht beginnen kann)
Das Kontinuierliche wird an Punkten geteilt, die dann Äusseres (Grenze) vom vorhergehenden und nachfolgenden Stück werden (sozusagen konstruktivistisch). Der, der die Strecken zählt, muss den Teilungspunkt zweimal verwenden, einmal als Endpunkt einmal als Anfangspunkt. Daran ersieht man, dass sich das Rennen nicht mehr im Kontinuierlichen befindet. VIII ( p263a4 -b9)
Denn das Kontinuierliche ist nur in der Potenz teilbar. VIII ( p 263 a 4 -b9)

Der Zeit-Raumäquivalenzvergleich scheint von der Sache her nicht nötig, wenn die Begriffe klarer lägen:

Ein Vergleich Linien und geometrische Größen wird unterlassen.
Die Unbegrenztheit von Proportionen wird beim Begriff Zahl nicht untersucht
Das Kontinuierliche und das Unbegrenzte weisen eine auffalende Ähnlichkeit auf, sie haben keine Enden, zusätzlich wird die Einheit der beiden nicht durch Grenzen bestimmt sondern durch die Form (das ist bei Aristoteles soetwas wie eine Idee).
Dem Gegensatz "Unbegrenzt" - "der Verwirklichung nach" geht Aristoteles nicht weiter nach, wenn man "der Verwirklichung nach" als bildbar (freie Wahlakte) oder konstruierbar liest.
Das Bildbare verlegt er wohl wegen jeweiliger Andersartigkeit und damit fehlender Selbstidentität außerhalb der Logik und sieht es als nicht theoriefähig an.

Exzerpt Bearbeiten

Aristoteles macht eigentlich viererlei:

Er belegt das Unbegrenzte, z. B Zeit oder sich gegenseitig(!) begrenzende Größen. Einen Gegenbeweis der "unteilbaren Linien" hab ich nicht, dürfte er aber gegeben haben.
Das Unbegrenzte erzeugt Schwierigkeiten ob man es zugibt oder verneint. Das Unbegrenzte wird einem Reglement unterworfen.
- Es besteht der "Potenz" nach nicht "der Verwirklichung" (tatsächlich) nach.
  - Größen (heute geschlossene Intervalle) sind unbegrenzt teilbar.
  - Zahlen (z. B die natürlichen Zahlen) sind bezüglich der Einheit 1 unbegrenzt. Je 8, 9, 10 zu eins läßt sich fortsetzen. Unendlich existiert auch der Potenz nach nicht. Die Einheit ist nicht teilbar.
  - Unbegrenztheit der Proportionen wird nicht untersucht.
  - Andere tatsächliche Größen (z. B. der Tag) entstehen und vergehen und sind jedesmal anders.
  - Eine Größe, die genommen wird und dazugelegt wird, bleibt bestehen (Identität). Z. B. y + y = 2 (y identisch, nicht ähnlich)
  - Ein Ring ist nicht unbegrenzt, weil nichts weggenommen werden kann.

Darauf folgt die etwas ungenauere Untersuchung des Kontinuierlichen, das dann auch nur in der Potenz teilbar ist nicht in der Verwirklichung.
- zwei mal drei Begriffe werden untersucht:
- Zugleich, Gesondert Berühren
- Dazwischenliegend, Nachfolgend, Sichanreihend

Zugleich ist etwas in einem Ort, gesondert ist etwas in verschiedenen Orten, äußere Enden zweier Dinge berühren sich.

Dazwischenliegend ist, in welches das Verändernde zuerst gelangt oder in welches es sich zuletzt verändert.
Das Dazwischenliegende kommt den Gegensätzen zu. Sokrates geht nach Theben und Sokrates ist in Theben angekommen läßt kein Mittelding zu. Das Dazwischenliegende ist also in den Gegensätzen.

Nächstfolgend ist wenn nichts derselben Gattung zwischen ihnen liegt. Ein Haus und ein Haus, eine Einheit und eine Einheit, eine Linie und eine Linie (ich sehe da eine Ungenauigkeit) siehe Abb. 1.

Sich anreihend ist aber etwas das nächstfolgend ist uns sich berührt. ("Zusammengeklebt mit Leim"), das sich Berührende wird eines. Mehrere Größen werden ein Größe, weil je die zwei Grenzen zweier eine werden vermittelst Nagels, Leimes, Berühren oder Anwachsens. Berührendes ist kontinuierlich wenn sich auch die äußersten Enden berühren, für das Kontinuierliche dürfen aber auch die äußersten Enden nicht zwei sein.

Danach zeigt er, daß zwischen Zahlen nichts ist (Zwischen Punkten Linien (Euklid). Er zeigt dann weiter daß aus Punkten nichts Kontinuierliches werden kann, indem dafür die dazwischen liegenden Linien einmal teilbar einmal unteilbar sein müßten.)

Auch berühren können sich Punkte nicht, weil sie kein Äußerstes haben, es sei denn die Linie bestünde aus Punkten, das Kontinuierliche aus Linien, die Linien sind aber teilbar, die Punkte nicht, was sich dann widerspricht.

(sie fallen zusammen oder sind gesondert)

Berühren können sich Punkte nur, indem sich Ganzes mit Ganzem berührt, aber das Kontinuierliche läßt sich teilen wobei das eine dieser Teil das andere jener wird und diese sind verschiedene und örtlich getrennt.

Punkte sind auch keine nächstfolgenden so daß aus ihnen Länge bestünde. S.72 Physik VI 1 (p 231 a 18 232 a 222)

Punkte als Unteilbares sind teillos.

Kontinuierliches ist teillos aber teilbar in verschiedene und örtlich getrennte Teile und die getrennten Teile sind aber nicht mehr das Kontinuierliche, aber das Kontinuierliche (keine Grenzen) enthielt sie teillos als Teile.

Kontinuierliches ist teilbar wieder in Teilbares

Dann folgt erst die Gegenüberstellung von Größe (Rennstrecke) Bewegung (? auf jeden Fall nicht klar kinematisch) und Zeit. Die Bewegung wird gleich mit der Zerhackung der Größe zur Zuckung, denn sie ist bewegt und nicht bewegt, wenn eine Teilgröße unteilbar ist. Ruhe wäre dann auch während der ganzen Bewegung möglich. Auch die Zeit ist teilbar weil der Schnellere gleiche Strecken in kleinerer Zweit zurücklegt. Wenn die Zeit, in der etwas an einer Teilgröße bewegt wird, teilbar ist, so ist es auch die Teilgröße.

Das Rennen zeichnet sich durch Abstand zwischen Achilles und der Schildkröte aus. Das Ende des Rennens ist der unteilbare Ort an dem Achilles und die Schildkröte keinen Abstand haben.

Interessant sind nach dieser Begriffsbildung, dann zwei Einwände:

Zuvorderst sagt Aristoteles, daß man Unbegrenztes nicht in begrenzter Zeit durchwandern kann. Das betrifft das "nie" in "holt sie nie ein".

Erstens: Physik VI 1 (p 231 a 18 - 232 a 22) Nachdem er das Kontinuierliche, Sichberührende und Nächstfolgende begrifflich festgelegt hat und dann anwendet und unteilbare Linien zwischen Punkten widersprüchlich sind, ergibt sich für ihn: "Wenn aber das Kontinuierliche und Sichberührende und das Nächstfolgende sich so verhält, wie wir oben festgestellt haben, nämlich daß kontinuierlich jene Dinge sind, deren äußersten Grenzen örtlich zugleich, und nächstfolgend jene, zwischen welchen Nichts ihnen Gleichwertiges liegt. so ist es unmöglich, daß aus Unteilbarem ein Kontinuierliches bestehe, ..." "...Ferner müßten notwendig die Punkte aus welchen das Kontinuierliche bestünde, selbst entweder kontinuierlich sein oder Einander Berühren... "Größen sind nicht aus Punkten zusammengesetzt, das sie schon mal nicht nächstfolgend d sein können, da sie keine äußeren Grenzen haben und somit zusammenfallen oder nicht, nichts anderes.

Zweitens:VIII ( p263a4-b9)" Denn die kontinuierliche Bewegung ist die eines Kontinuierlichen, in dem Kontinuierlichen aber sind allerdings unbegrenzt viele Hälften. aber nicht der Verwirklichung nach sondern bloß potentiell. Macht man sie aber der Verwirklichung nach, so macht man nicht eine kontinuierliche Bewegung sondern bringt sie zum Haltmachen, was bei jenem, welcher die Hälften zählt, augenfällig sich ergibt. Denn er muß den einen Punkt als zwei zählen, nämlich derselbe wird von der einen Hälfte das Endes von der anderen der Anfang sein, wofern man eben nicht die eine kontinuierliche Linie, sondern zwei halbe Linien, zählt." (aus y=1 wird y + y =2 y notwendig selbstidentisch!) Aus diesem Bewegungsbegriff scheinen die Äquivalenzbetrachtungen zu Zeit und Raum zu stammen.

Das Kontinuierliche wird an Punkten geteilt, die dann Äußeres (Grenze) vom vorhergehenden und nachfolgenden Stück werden. Das ist sozusagen konstruktivistisch. Der der die Strecken zählt muß den Teilungspunkt zweimal verwenden, einmal als Endpunkt einmal als Anfangspunkt. Daran ersieht man, daß sich das Rennen nicht mehr im Kontinuierlichen befindet.

Also insgesamt stellt man fest. Zuerst gibt Aristoteles Zeno recht, indem er sagt der Begriff Unbegrenzt hat etwas Widersprüchliches an sich. Um diesen Widerspruch zu vermeiden, schränkt er die Anwendung des Begriffes wie oben angegeben ein, was dann 2000 Jahre gültig bleibt (bis zu Cantors aktual Unendlichem), aber eigentlich an Zenons Frage vorbeiargumentiert:

fehlt die Unbegrenztheit der Proportionen.
Kann man das "der Verwirklichung nach" auch als Kontruktionsaufforderung sehen. Es ist Aristoteles nicht bewußt, weil es so alltäglich ist bei den Griechen, daß sie Mathematik mit Zirkel und Lineal konstruieren.
Übergeht Aristoteles die Bedeutung, falls sie Zenon so gemeint hat, des ungeklärten Verhältnisses rationale zu irrationalen Zahlen, oder das "Werden" von Zahlen.
Nachdem in der Analysis Cauchy und weitere die stehengebliebene Begriffsbildung Aristoteles wieder neu belebt haben, gehen die Konstruktivisten (Brouwer, Kronecker) und der Semikonstruktivist Weyl das Problem erneut an, wobei sich Weyls Position (eine Art Zahlenatomismus um den der Kontinuumsbrei gegossen wird) in leicht veränderter Form durchsetzt bei den Logikern Ackermann, Gentzen und Lorenzen.
Auch der Ansatz des aktual Unendlichen wurde wieder aufgegriffen in der Nonstandardanalysis.
Das aktual Unendliche der Menge z. B. der natürlichen Zahlen, scheint heute eine Selbstverständlichkeit zu sein.