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Ermittlung der Zeitgleichung

Erd- und scheinbare Sonnenbahn
Ansicht vom Ekliptiknordpol aus. F, S, H,W: Jahreszeiten- anfänge, C: Zentrum der Bahnellipse, P, A: Peri- bzw. Aphel (oben), Peri- bzw Apogäum (unten). ♈: Frühlingspunkt- richtung. n: Projektion der nördlichen Erdachshälfte auf die Ekliptikebene. Oberes Teilbild: heliozentrische Koordinaten, unteres Teilbild: geozentrische Koordinaten

Die am Artikelanfang als WOZ minus MOZ eingeführte Zeitgleichung $\scriptstyle ZG$ für einen zukünftigen oder vergangenen Zeitpunkt $\scriptstyle D$ (Datum) ist der Rektaszensionsdifferenz

$\Delta \alpha =\alpha _{M}-\alpha$

proportional. Die als mittlere Rektaszension $\scriptstyle \alpha _{M}$ bezeichnete Rechengröße ist ein gleichmäßig mit der Zeit zunehmender Vergleichswinkel, der die mittlere Zeit repräsentiert. $\scriptstyle \alpha$ bezeichnet die am Himmel messbare Rektaszension der Sonne.

Dem in Tab.1 vorgestellten Rechengang liegt das Kepler'sche Zwei-Massen-Bewegungsmodell von Sonne und Erde zugrunde, das den Einfluss von Mond und Planeten vernachlässigt. Aus den für die Rechnung hinreichenden Parametern in Tab. 2 werden in Tab. 3 weitere Hilfsgrößen hergeleitet.

Da der Gegenstand der Zeitgleichung die von der Erde aus betrachtete Sonne ist, wird das Rechenmodell geozentrisch formuliert, weshalb z.B. P als Perigäum statt als Perihel bezeichnet wird. Die im heliozentischen Bezugssystem definierten Anomalien $\scriptstyle M,\,E$ und $\scriptstyle V$ sind auch Variablen des geozentrischen Modells: Für beide Modelle gelten dieselben Gleichungen. Die Abbildung Erd- und scheinbare Sonnenbahn veranschaulicht die Winkelgrößen in der Ekliptikebene.

Den Kern des Rechenmodells bilden die Keplergleichung $\scriptstyle M=E-e\sin E$, die Beziehung $\scriptstyle \tan {\frac {V}{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}$ zwischen der wahren und der exzentrischen Anomalie $\scriptstyle V$ bzw. $\scriptstyle E$ - sie wird in Tab. 1 und 3 in (mittels des Lageparameter-Arcustangens) aufgelöster Form benutzt - und die Koordinatentransformationsgleichung $\scriptstyle \alpha =\arctan _{\Lambda }(\cos \varepsilon \tan \Lambda )$, mit der die ekliptische Länge $\scriptstyle \Lambda$ in die (äquatoriale) Rektaszension $\scriptstyle \alpha$ umgerechnet wird.

Der Rechengang nach Tab. 1 liefert für den Zeitraum 1975 bis 2025 $\scriptstyle ZG$-Werte, die um weniger als 5 Sekunden von denen eines genaueren Referenzmodells abweichen, das auch den Einfluss von Mond und Planeten einschließt. Für entferntere Zeitpunkte sind die langsamen (säkularen) Änderungen der ersten drei Parameter in Tab. 2 zu berücksichtigen.

Tabelle 1: Rechengang Die Zahlenwerte gelten für den Zeitpunkt $\scriptstyle D\,\,=$ 1. April 2015, 13:55 UT.

$t$	=	$D-D_{F}$ = 5490.26389 d      ($\scriptstyle D_{F}$ und weitere Parameter oder Hilfsgrößen s. Tabelle 2 und 3.)
		Zeit von $\scriptstyle D_{F}$ bis $\scriptstyle D$
$t'$	=	$t'_{F}+t$ = 5566.56080 d
		Zeit vom mittleren Perigäum P der Sonne im Jahr 2000 bis $\scriptstyle D$
$M$	=	$\omega _{T}t'$ = 95.76039 rad
		mittlere Anomalie der Sonne bei $\scriptstyle D$
$E$	=	95.77708 rad
		exzentrische Anomalie der Sonne bei $\scriptstyle D$ als Lösung der Keplergleichung $\scriptstyle M=E-e\sin E$
$V$	=	$2\arctan _{\frac {E}{2}}\left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}\right)$ = 95.79378 rad
		wahre Anomalie der Sonne bei $\scriptstyle D$
$\Lambda$	=	$V-V_{F}$ = 94.44878 rad
		Länge der Sonne bei $\scriptstyle D$
$\alpha _{M}$	=	$M-V_{F}$ = 94.41539 rad
		Rektaszension der mittleren (Vergleichs-)Sonne
$\alpha$	=	$\arctan _{\Lambda }(\cos \varepsilon \tan \Lambda )$ = 94.43259 rad
		Rektaszension der Sonne bei $\scriptstyle D$
$\Delta \alpha$	=	$\alpha _{M}-\alpha$ = -0.01720 rad
		Zeitgleichungswert bei $\scriptstyle D$, als Winkel
$ZG$	=	$\Delta \alpha {\frac {24\cdot 60}{2\pi }}$min = -3.94 min
		Zeitgleichungswert bei $\scriptstyle D$, als Zeit

Anmerkungen zu Tabelle 1 $t$: Bei der Berechnung der Zeitdifferenz kann man sich von mathematischer Software oder einem Online-Rechner helfen lassen.   $E$: Die Keplergleichung ist nicht algebraisch nach $\scriptstyle E$ auflösbar. Es existieren Näherungslösungen per Reihenentwicklung, die genauer als nötig sind. Alternativ kann man das Newton-Raphson-Verfahren benutzen, z. B. indem man "solve 95.76039 - x + 0.016709*sin(x) starting at 95" bei WolframAlpha eingibt.   $V$: Die Funktion $\scriptstyle \arctan _{\frac {E}{2}}$ bezeichnet den Arcustangens mit dem Lageparameter $\scriptstyle {\frac {E}{2}}$. Sie berechnet den Arkustangens-Nebenwert, der $\scriptstyle {\frac {E}{2}}$ am nächsten liegt. Der Hauptwert des Arkustangens würde bei Berechnung einer Zeitgleichungstabelle für ein Jahr oder länger einen unstetigen $\scriptstyle ZG$-Verlauf produzieren.   $\alpha$: Lageparameter $\scriptstyle \Lambda$ sinngemäss wie unter $\scriptstyle V$ erläutert. Die Formel rechnet die geozentrisch ekliptischen Polarkoordinaten der Sonne (Länge $\scriptstyle \Lambda$, Breite = 0) in die zugehörige Rektaszension $\scriptstyle \alpha$ um, d. h. in die äquatoriale Länge.

Tabelle 2: Parameter Alle Parameter der Zeitgleichung

$\scriptstyle e$	=	0.016709
		numerische Exzentrizität der Erdbahn
$\scriptstyle \varepsilon$	=	0.409093 rad = 23° 26' 21.4"
		Schiefe der Ekliptik gegen die Äquatorebene (Neigung der Erdachse)
$\scriptstyle \varpi$	=	1.796596 rad = 102.937°
		ekliptische Länge des (Erd-)Perihels
$T$	=	365.242190 d
		Umlaufzeit der Sonne, dargestellt durch das tropische Jahr J2000
$\scriptstyle D_{F}$	=	30. März 2000 7:35 UT
		Datum des Frühlingsanfangs im Jahr 2000

Anmerkung zu Tabelle 2 Die Parameter sind im heliozentrischen System definiert, gelten aber auch geozentrisch: Die numerische Exzentrizität $\scriptstyle e$ der Erdbahn ist gleich jener der scheinbaren Sonnenbahn; die Länge des Perihels $\varpi$ ist gleich dem Winkel des Perigäums der Sonne gegen die Herbstpunktrichtung; die Umlaufzeit der Sonne $\scriptstyle T$ ist gleich jener der Erde.

Tabelle 3: Hilfsgrößen, hergeleitet aus den Parametern in Tabelle 2

$\scriptstyle V_{F}$	=	$\scriptstyle \pi -\varpi =-\Lambda _{P}$ = 1.344997 rad
		wahre Anomalie der Sonne bei Frühlingsanfang und negative Länge des Perigäums der Sonne
$\scriptstyle E_{F}$	=	$\scriptstyle 2\arctan _{\frac {V_{F}}{2}}\left({\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\tan {\frac {V_{F}}{2}}\right)$ = 1.328742 rad
		exzentrische Anomalie der Sonne bei Frühlingsanfang
$\scriptstyle M_{F}$	=	$\scriptstyle E_{F}-e\sin E$ = 1.312520 rad
		mittlere Anomalie der Sonne bei Frühlingsanfang gemäß Keplergleichung
$\scriptstyle \omega _{T}$	=	$\scriptstyle {\frac {2\pi }{T}}$ = 0.0172028 rad/d
		mittlere Winkelgeschwindigkeit ders Sonnenumlaufs
$\scriptstyle t'_{F}$	=	$\scriptstyle {\frac {M_{F}}{\omega _{T}}}$ = 76.29691 d
		Zeit vom Pergäum der Sonne bis Frühlingsanfang

Anmerkung zu Tabelle 3 Die Anomalien sind wegen des geozentrischen Rechenmodells nach Tabelle 1 auf die Sonne bezogen. Deshalb Perigäum statt Perihel! Die Zahlenwerte der Größen sind in beiden Bezugssystemen gleich.

Mittelwert der Zeitgleichung $\scriptstyle {\text{Gehört m. E. eher nicht in einen Wikipediaartikel.}}$

Die mittlere Rektaszension $\scriptstyle \alpha _{M}$ kann man einer fiktiven, am Himmelsäquator umlaufenden mittleren (Referenz-)Sonne zuschreiben. Die (wahre) Sonne entfernt sich, was den äquatorialen Abstand (Rektaszensionsdifferenz) betrifft, im Jahreslauf nie mehr als ca. 4° oder 8 Sonnendurchmesser oder 16 min von der mittleren Sonne. Im Laufe des Jahres finden 4 „Überholvorgänge“ (Nullstellen der Zeitgleichung) statt.

Es ist wünschenswert, die in $\scriptstyle T$ periodische Zeitgleichungsfunktion mittelwertfrei zu definieren. Dann ist ihr Betragsmittelwert minimal. Der arithmetische Mittelwert $\scriptstyle {\overline {ZG}}$ ist durch die Wahl des Konstantgliedes der mittleren Rektaszension $\scriptstyle \alpha _{M}$ justierbar (s. Tab. 1). Die getroffene Festlegung auf $\scriptstyle -V_{F}$ zieht $\scriptstyle {\overline {ZG}}\,\approx \,0.1s$ nach sich. Diese geringe Abweichung vom Idealwert Null ist akzeptabel, zumal man infolge des einfachen Keplermodells viel größere Einzelwertabweichungen gegenüber Messwerten in Kauf zu nehmen hat.

Für die Wahl von $\scriptstyle -V_{F}$ als Konstantglied spricht auch das folgende theoretische Argument: Wenn man den Rechenweg im Sinne einer Parameterstudie unverändert auf Erdvarianten mit verschiedenen $\scriptstyle \varpi$-Werten bei sonst gleichen Parametern anwendet, bleibt $\scriptstyle {\overline {ZG}}$ in der genannten geringen Größenordnung. Die vier symmetrischen Konstellationen, in denen die Projektion der Erdachse in die Ekliptikebene parallel oder rechtwinklig zur Apsidenline AP verläuft, erweisen sich mit $\scriptstyle {\overline {ZG}}=0$ als Idealfälle.