Benutzer:Megatherium/Pendel

Die Schwingungsdauer des physikalischen Pendels ergibt sich zu

$T={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{gmd}}}$

wobei ${\omega }$ die Kreisfrequenz, $I$ das Trägheitsmoment bzgl. des Aufhängepunktes, $m$ die Masse des Körpers, $g$ die Schwerebeschleunigung und $d$ der Abstand vom Aufhängungspunkt zum Massenmittelpunkt ist. Dabei ist $mgd$ ein Maß für das Moment, das die Schwerkraft auf das ausgelenkte Pendel ausübt, $m$ ist also die schwere Masse des Pendelkörpers.

Einfaches Pendel

Pendel mit kompakter Pendelmasse und einem Stab/Faden, dessen Masse und Volumen klein sind.

Wenn der Pendelkörper nicht zu ausgedehnt ist, kann man sein Trägheitsmoment bezüglich dem Pendelaufhängungspunkt angenähert zu $I={\overline {m}}d^{2}$ berechnen, wobei ${\overline {m}}$ seine träge Masse bezeichnet (normalerweise gleich $m$ gemäß Äquivalenzprinzip):

$T=2\pi {\sqrt {\frac {{\overline {m}}d}{gm}}}$

Betrachtet man auch die Luft mit der Dichte $\rho _{L}$, in der das Pendel schwingt, und sind $\rho$ die Dichte und $v$ das Volumen des Pendelkörpers, ergibt sich die effektive schwere Masse wegen des Auftriebs des Pendelkörpers zu $m=v(\rho -\rho _{L})$. Auch die träge Masse ändert sich, da der sich bewegende Pendelkörper Luft verdrängt und in Bewegung setzt. Seine träge Masse erhöht sich dadurch auf ${\overline {m}}=v(\rho +k\rho _{L})$, wobei $k\approx 1$ ein Korrekturfaktor für die Ausbildung der Luftströmung um den Pendelkörper ist.

$T=2\pi {\sqrt {\frac {(\rho +k\rho _{L})d}{(\rho -\rho _{L})g}}}$.

Mit

$\rho _{L}=1{,}2\,g/l$ bei 20°C,

$\rho =8{,}6\,g/cm^{3}$ für Messing

und mit $k=1$ ergibt sich für eine Erhöhung des Luftdrucks um 1 mbar (und damit um 0,1%):

${\frac {T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}}}={\frac {(\rho +k\rho _{L2})d(\rho -\rho _{L1})g}{(\rho -\rho _{L2})g(\rho +k\rho _{L1})d}}={\frac {8{,}6012012\cdot 8{,}5988}{8{,}5987988\cdot 8{,}6012}}=1{,}00000027907;\quad 1-{\frac {T_{2}}{T_{1}}}=0{,}13953\cdot 10^{-6}$.

Die Periode verlängert sich um $1{,}4\cdot 10^{-7}$, was einer Abweichung von 0,012 s/Tag entspricht. Eine Temperaturerhöhung von 20 auf 21°C bewirkt eine Verminderung der Luftdichte um 1/293 = 0,34% und somit eine Beschleunigung von $4{,}8\cdot 10^{-7}$ oder 0,041 s/Tag (ohne Wärmeausdehnung des Pendels).

Zum Vergleich: Beträgt die Wärmeausdehnung des Pendelwerkstoffs 4·10^-6/K, dann bewirkt eine Temperaturerhöhung um 1 K eine Verlangsamung um 2·10^-6 oder 0,173 s/Tag (wobei der Einfluss der sich ebenfalls ändernden Luftdichte nicht berücksichtigt ist). Um den Temperaturfehler auszugleichen, müsste das Pendel eine Wärmeausdehnung von etwa 1·10^-6/K aufweisen, damit sich die Effekte gegenseitig kompensieren.

Mehrere Pendelkörper

$T=2\pi {\sqrt {\frac {\sum \nolimits _{i}v_{i}(\rho _{i}+k_{i}\rho _{L})d_{i}^{2}}{g\sum \nolimits _{i}v_{i}(\rho _{i}-\rho _{L})d_{i}}}}$

Stabpendel

Pendel aus einem Stab der Länge $l$, Querschnitt $A$ und Dichte $\rho$, der an einem Ende aufgehängt ist.

$m=Al\rho$

$T=2\pi {\sqrt {\frac {{\tfrac {1}{3}}l^{2}m}{gm{\tfrac {1}{2}}l}}}=2\pi {\sqrt {\frac {{\tfrac {1}{3}}l\rho }{{\tfrac {1}{2}}g\rho }}}$

In Luft der Dichte $\rho _{L}$:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {{\tfrac {1}{3}}l(\rho +k\rho _{L})}{{\tfrac {1}{2}}g(\rho -\rho _{L})}}}$

Pendel mit Stange

Ein Sekundenpendel bestehe aus einer Stange mit Radius $r$, Länge $l$, Dichte $\rho _{S}$ und Wärmeausdehnung $\sigma$ sowie einer Linse mit Volumen $z^{3}$, Dichte $\rho$, Trägheitsmoment $fz^{5}\rho$ und Wärmeausdehnung $\alpha$, die in ihrem Schwerpunkt am unteren Ende der Stange angebracht ist.

Masse Stange:$n=\pi r^{2}l\rho _{S}$

Masse Linse:$m=z^{3}\rho$

$T=2\pi {\sqrt {\frac {{\tfrac {1}{3}}l^{2}n+m(l^{2}+fz^{2})}{g(n{\tfrac {l}{2}}+ml)}}}=2\pi {\sqrt {\frac {{\tfrac {\pi }{3}}l^{3}r^{2}(\rho _{S}+k_{S}\rho _{L})+z^{3}(\rho +k\rho _{L})(l^{2}+fz^{2})}{g({\tfrac {\pi }{2}}r^{2}l^{2}(\rho _{S}-\rho _{L})+z^{3}(\rho -\rho _{L})l)}}}$

Mit Wärmedehnung bei Erhöhung der Temperatur von 293 auf 294 K:

$T_{h}=2\pi {\sqrt {\frac {{\tfrac {\pi }{3}}(l(1+\sigma ))^{3}(r(1+\sigma ))^{2}(\rho _{S}(1-3\sigma )+k_{S}\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})+(z(1+\alpha ))^{3}(\rho (1-3\alpha )+k\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})((l(1+\sigma ))^{2}+f(z(1+\alpha ))^{2})}{g({\tfrac {\pi }{2}}(r(1+\sigma ))^{2}(l(1+\sigma ))^{2}(\rho _{S}(1-3\sigma )-\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})+(z(1+\alpha ))^{3}(\rho (1-3\alpha )-\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})l(1+\sigma ))}}}$

Die Periode soll unabhängig von der Temperatur sein, also $T=T_{h}$:

$\{{\tfrac {\pi }{3}}l^{3}r^{2}(\rho _{S}+k_{S}\rho _{L})+z^{3}(\rho +k\rho _{L})(l^{2}+fz^{2})\}\cdot$

$\{{\tfrac {\pi }{2}}(r(1+\sigma ))^{2}(l(1+\sigma ))^{2}(\rho _{S}(1-3\sigma )-\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})+(z(1+\alpha ))^{3}(\rho (1-3\alpha )-\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})l(1+\sigma )\}=$

$\{{\tfrac {\pi }{3}}(l(1+\sigma ))^{3}(r(1+\sigma ))^{2}(\rho _{S}(1-3\sigma )+k_{S}\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})+(z(1+\alpha ))^{3}(\rho (1-3\alpha )+k\rho _{L}{\tfrac {294}{293}})((l(1+\sigma ))^{2}+f(z(1+\alpha ))^{2})\}\cdot$

$\{{\tfrac {\pi }{2}}r^{2}l^{2}(\rho _{S}-\rho _{L})+z^{3}(\rho -\rho _{L})l\}$

Mehrere Pendelkörper

Mit mehreren kompakten Pendelkörpern gleicher Dichte $\rho$, deren Schwerpunkte in Ruhelage auf einer Vertikalen durch den Aufhängungspunkt liegen, ist

$I=\sum _{i}{\overline {m}}_{i}d_{i}^{2}=\sum _{i}v_{i}(\rho +k\rho _{L})d_{i}^{2}$,

$v=\sum _{i}v_{i},\;d={\frac {\sum _{i}d_{i}v_{i}}{v}}$,

$T=2\pi {\sqrt {\frac {(\rho +k\rho _{L})\sum _{i}v_{i}d_{i}^{2}}{g(\rho -\rho _{L})vd}}}$.

Betrachten wir ein Pendel mit zwei gleichen kompakten Pendelkörpern auf gleicher Höhe $d$ unterhalb des Aufhängungspunkts und um $r$ seitlich versetzt, symmetrisch zur Aufhängung, jeweils mit Dichte $\rho$. Die Körper sind an einem Balken aus Material B angebracht, der über eine vertikale Stange der Länge $s$ aus Material S mit dem Aufhängungspunkt verbunden ist. Die Masse und elastische Verformung von Balken und Stange wird vernachlässigt. Mit dieser Anordnung ergibt sich:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {(\rho +k\rho _{L})(r^{2}+d^{2})}{g(\rho -\rho _{L})d}}}$.

Mit den Ausdehnungskoeffizienten $\alpha _{S},\alpha _{B}$ ist

$r(\vartheta )=r(\vartheta _{0})(1+(\vartheta -\vartheta _{0})\alpha _{B})$,

$d(\vartheta )=s(\vartheta _{0})(1+(\vartheta -\vartheta _{0})\alpha _{S})-(s(\vartheta _{0})-d(\vartheta _{0}))(1+(\vartheta -\vartheta _{0})\alpha _{B})$.

$T$ soll von der Temperatur $\vartheta$ unabhängig sein, also:

${\frac {r^{2}+d^{2}}{d}}={\frac {r_{o}^{2}+d_{o}^{2}}{d_{o}}}$

mit

$r_{o}=r(1+\alpha _{B}),\;d_{o}=s(1+\alpha _{S})-(s-d)(1+\alpha _{B})$.

Nach Einsetzen, Umformen und Entfernen von Summanden, die $\alpha _{S}^{2}$ etc. enthalten, ergibt das

$h(r^{2}-d^{2})\alpha _{S}=(d^{2}(d-s)+r^{2}(d+s))\alpha _{B}$.

Sonderfälle:

$r=0:\;s\alpha _{S}=(s-d)\alpha _{B}$

$s=d:\;(r^{2}-d^{2})\alpha _{S}=2r^{2}\alpha _{B}$

$r=d:\;\alpha _{B}=0$