Lothar.S

Die Sattelpunktsnäherung wird verwendet, um Integrale der Form

$I=\lim _{N\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-Nf(x)}\;\mathrm {d} x$

näherungsweise zu berechnen.

Falls die Funktion $f(x)$ analytisch ist und ein globales Minimum bei $x_{0}$ besitzt, so erhält man:

$I=\lim _{N\to \infty }e^{-Nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{Nf''(x_{0})}}}$ mit $\left.f''(x_{0})={\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\right|_{x=x_{0}}$

Begründung

Für große N wird die Exponentialfunktion außerhalb der Umgebung von $x_{0}$ beliebig klein. Deshalb wird f(x) um $x_{0}$ in eine Taylorreihe entwickelt: $f(x)\approx f(x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}$

Einsetzen ins Integral liefert

$I=\lim _{N\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-Nf(x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}=$

$={\lim _{N\to \infty }e^{-Nf(x_{0})}}\;\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-N{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}\;\mathrm {d} x$

Das Integral über die Gauß-Verteilung lässt sich leicht lösen.

Für die Integration genügt es also, f(x) in dieser Umgebung zu Entwickeln

\lim_{N \to \infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-Nf(x)} \; \mathrm{d}x =

\left({\lim_{N \to \infty} e^{-Nf(x_0)}}\right) \; \int\limits_{-\infty}^{\infty} \lim_{N \to \infty}

e^{-N\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2} \; \mathrm{d}x =

</math> $\left(\lim _{N\to \infty }e^{-Nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{Nf''(x_{0})}}}\;\right)\int \limits _{-\infty }^{\infty }\delta (x-x_{0})\;\mathrm {d} x$

$\delta (x-x_{0})=\lim _{N\to \infty }{\sqrt {\frac {\pi }{N}}}e^{-N(x-x_{0})^{2}},$