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In der mathematischen Theorie der algebraischen Zahlen, also der komplexen Nullstellen α∈C, p(α)=0, von univariaten Polynomen p(X)∈Z[X] mit ganzen rationalen Zahlen als Koeffizienten, versteht man unter dem p-Klassenkörperturm eines algebraischen Zahlkörpers K=Q(α) die maximale unverzweigte pro-p-Erweiterung Fp(K) von K für eine fest vorgegebene Primzahl p. Die Gruppe der Automorphismen von Fp(K), welche den Grundkörper K invariant lassen, heißt die p-Turmgruppe G:=Gp(K):=Gal(Fp(K)/K) von K. Im Fall eines unendlichen p-Klassenkörperturms Fp(K) ist G eine topologische Gruppe mit der Krull-Topologie.

Tabelle 1: Invarianten der 3-Klassenkörpertürme imaginär-quadratischer Zahlkörper
d Typus κ τ Gp2(K) Gp(K) Ref.
-3896 H.4 (4443) [111,111,21,111] ⟨729,45⟩ ⟨6561,606⟩ [1]
-4027 D.10 (2241) [21,21,111,21] ⟨243,5⟩ ⟨243,5⟩ [2]
-9748 E.9 (2231) [32,21,21,21] ⟨2187,302⟩ ⟨6561,620⟩ [3]
or ⟨2187,306⟩ ⟨6561,624⟩
-12131 D.5 (4224) [111,21,111,21] ⟨243,7⟩ ⟨243,7⟩ [2]
-15544 E.6 (1313) [32,21,111,21] ⟨2187,288⟩ ⟨6561,616⟩ [1]
-16627 E.14 (2313) [32,21,111,21] ⟨2187,289⟩ ⟨6561,617⟩ [1]
or ⟨2187,290⟩ ⟨6561,618⟩
-34867 E.8 (1231) [32,21,21,21] ⟨2187,304⟩ ⟨6561,622⟩ [1]

Stufen und Länge des p-Klassenkörperturms

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Die absteigende Reihe der iterierten Kommutatoruntergruppen von G, G=G(0)>G(1)>G(2)>… mit G(n+1):=[G(n),G(n)] für n≥0, gibt im Sinne der Galoiskorrespondenz Anlass für die Stufen (Etagen, Stockwerke) des Turms, welche gegeben sind durch Fpn(K):=Fix(G(n)), beziehungsweise gleichwertig durch Gal(Fp(K)/Fpn(K))=G(n), für n≥0. Aufgrund des Isomorphiesatzes ist Gpn(K):=Gal(Fpn(K)/K)≅Gal(Fp(K)/K)/Gal(Fp(K)/Fpn(K))=G/G(n) die Galoisgruppe des n-ten Hilbert p-Klassenkörpers Fpn(K) von K, isomorph zum n-ten abgeleiteten Quotienten von G, und wird als n-te p-Klassengruppe von K bezeichnet. Für n=1 ergibt sich mit Hilfe des Reziprozitätsgesetzes von Artin [4] die Isomorphie der Abelianisierung der p-Turmgruppe, G/G(1)≅Gal(Fp1(K)/K)≅Clp(K), zur (gewöhnlichen) ersten p-Klassengruppe von K, also zur Sylow p-Untergruppe der (endlichen abelschen) Idealklassengruppe Cl(K) von K, als Galoisgruppe der maximalen abelschen unverzweigten p-Erweiterung Fp1(K) von K. Die p-Turmgruppe G ist entweder eine unendliche pro-p-Gruppe mit endlicher Abelianisierung G/G(1) oder eine endliche p-Gruppe. Im ersteren Fall ist auch der p-Klassenkörperturm von K, K<Fp1(K)<Fp2(K)<…<Fp(K), von unendlicher Länge λp(K)=∞ und G=Gp(K)≅limGpn(K) ist der projektive Limes der Galoisgruppen aller Stufen des Turmes. Im letzteren Fall ist G auflösbar und nilpotent und der Turm K<Fp1(K)<Fp2(K)<…<Fpλ(K)=Fpλ+1(K)=Fp(K) endet bei der abgeleiteten Länge von G, λp(K)=λ=dl(G), präziser ausgedrückt: wird dort stationär.

Relationenrang der p-Turmgruppe

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Für die Bestimmung der Länge eines p-Klassenkörperturms ist die Abschätzung des Relationenrangs von G=Gp(K) von entscheidener Bedeutung. G operiert trivial auf dem endlichen Körper GF(p) mit p Elementen und die kohomologischen Dimensionen d1(G):=dim H1(G,GF(p)), bzw. d2(G):=dim H2(G,GF(p)), heißen Generatorenrang, bzw. Relationenrang, von G. Für einen Grundkörper K mit der Signatur (r,c), also mit dem torsionsfreien Dirichlet-Einheitenrang u:=r+c-1, hat Shafarevich [5] die folgende Abschätzung des Relationenrangs der p-Turmgruppe hergeleitet: d1(G)≤d2(G)≤d1(G)+u+θ, wobei θ:=1, falls K die p-ten Einheitswurzeln enthält, und θ:=0 anderenfalls. Aufgrund der Isomorphie G/G(1)≅Clp(K) ist der Generatorenrang d1(G) von G gleich dem p-Klassenrang ρp(K) von K, also gleich der Anzahl der Basiselemente der p-Klassengruppe Clp(K). Für den besonders ausführlich untersuchten einfachsten Spezialfall eines imaginär-quadratischen Grundkörpers K haben Koch und Venkov [6] aus dem kohomologischen Kriterium von Shafarevich das folgende grundlegende Resultat abgeleitet.

Satz von Koch und Venkov. Für eine ungerade Primzahl p≥3 ist die p-Turmgruppe G=Gp(K) eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers K eine sogenannte Schur σ-Gruppe mit ausgewogener Präsentation d2(G)=d1(G) und mit einem Automorphismus σ∈Aut(G), welcher auf der Abelianisierung G/G(1) die Inversion x→x-1 hervorruft. (Wegen der Isomorphie G/G(1)≅H1(G,GF(p)) heißt σ ein generatoren-invertierender (GI-)Automorphismus.)

Zusatz von Schoof. [7] Für eine ungerade Primzahl p≥3 und für jede ganze Zahl n≥2 besitzt die n-te p-Klassengruppe U=Gpn(K) eines beliebigen (imaginären oder reellen) quadratischen Zahlkörpers K einen Automorphismus σ∈Aut(U), der sowohl auf H1(U,GF(p)) als auch auf H2(U,GF(p)) die Inversion x→x-1 induziert. (σ heißt daher ein relatoren-invertierender (RI-)Automorphismus.)

Tabelle 2: Invarianten der 3-Klassenkörpertürme reell-quadratischer Zahlkörper
d Typus κ τ Gp2(K) Gp(K) Ref.
32009 a.3 (2000) [21,11,11,11] ⟨81,8⟩ ⟨81,8⟩ [2]
62501 a.1 (0000) [22,11,11,11] ⟨729,99⟩ ⟨729,99⟩ [8]
72329 a.2 (1000) [21,11,11,11] ⟨81,10⟩ ⟨81,10⟩ [2]
142097 a.3 (2000) [111,11,11,11] ⟨81,7⟩ ⟨81,7⟩ [2]
152949 a.1 (0000) [22,11,11,11] ⟨729,100⟩ ⟨729,100⟩ [8]
214712 G.19 (4321) [21,21,21,21] ⟨729,57⟩ ⟨2187,311⟩ [9]
252977 a.1 (0000) [22,11,11,11] ⟨729,101⟩ ⟨729,101⟩ [8]
342664 E.9 (2231) [32,21,21,21] ⟨2187,302⟩ ⟨6561,620⟩ [9]
or ⟨2187,306⟩ ⟨6561,624⟩
494236 a.3↑ (2000) [32,11,11,11] ⟨729,97⟩ ⟨729,97⟩ [2]
or ⟨729,98⟩ ⟨729,98⟩
534824 c.18 (0313) [22,21,111,21] ⟨729,49⟩ ⟨2187,291⟩ [10]
540365 c.21 (0231) [22,21,21,21] ⟨729,54⟩ ⟨2187,307⟩ [10]
or ⟨2187,308⟩
790085 a.2↑ (1000) [32,11,11,11] ⟨729,96⟩ ⟨729,96⟩ [2]
957013 H.4 (4443) [111,111,21,111] ⟨729,45⟩ ⟨2187,273⟩ [9]
2905160 a.1↑ (0000) [33,11,11,11] ⟨6561,2227⟩ ⟨6561,2227⟩ [8]
3918837 E.14 (2313) [32,21,111,21] ⟨2187,289⟩ ⟨2187,289⟩ [9]
or ⟨2187,290⟩ ⟨2187,290⟩
4760877 E.9 (2231) [32,21,21,21] ⟨2187,302⟩ ⟨2187,302⟩ [9]
or ⟨2187,306⟩ ⟨2187,306⟩
5264069 E.6 (1313) [32,21,111,21] ⟨2187,288⟩ ⟨6561,616⟩ [9]
6098360 E.8 (1231) [32,21,21,21] ⟨2187,304⟩ ⟨6561,622⟩ [9]
7153097 E.6 (1313) [32,21,111,21] ⟨2187,288⟩ ⟨2187,288⟩ [9]
8632716 E.8 (1231) [32,21,21,21] ⟨2187,304⟩ ⟨2187,304⟩ [9]
9433849 E.14 (2313) [32,21,111,21] ⟨2187,289⟩ ⟨6561,617⟩ [9]
or ⟨2187,290⟩ ⟨6561,618⟩
10200108 a.3↑↑ (2000) [43,11,11,11] ⟨6561,2223⟩ ⟨6561,2223⟩ [8]
or ⟨6561,2224⟩ ⟨6561,2224⟩
10399596 a.1↑ (0000) [33,11,11,11] ⟨6561,2225⟩ ⟨6561,2225⟩ [8]
14458876 a.2↑↑ (1000) [43,11,11,11] ⟨6561,2222⟩ ⟨6561,2222⟩ [8]
27780297 a.1↑ (0000) [33,11,11,11] ⟨6561,2226⟩ ⟨6561,2226⟩ [8]

Artin-Muster der p-Turmgruppe

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Auf dem Wege zur Identifikation der p-Turmgruppe G eines vorgegebenen Zahlkörpers K verwendet man zunächst das Artin-Muster AP=(κ,τ), um die Metabelianisierung M:=G/G(2) von G zu finden. Dieses Muster besteht aus der Gesamtheit der Kerne κ:=(ker(V(G,U))) und Ziele τ:=(U/U(1)), genauer: der logarithmischen abelschen Quotienten-Invarianten der Ziele, der Artin-Verlagerungen V(G,U):G/G(1)→U/U(1) der Gruppe G in ihre maximalen Untergruppen U vom Index p. In vielen Fällen führt diese Strategie der Mustererkennung mittels Artin-Verlagerungen zur eindeutigen Identifizierung zumindest der zweiten Stufe des Turmes, also der metabelschen Galoisgruppe M≅Gp2(K) des zweiten Hilbert p-Klassenkörpers Fp2(K) von K, als Approximation der vollen p-Turmgruppe G. Auf jeden Fall liefert dieser Prozess nur endlich viele Kandidaten für Gp2(K). Historisch gesehen geht die Idee zu dieser Vorgangsweise auf die Untersuchungen von Scholz und Taussky [11] im Jahre 1934 zurück, aus welchen auch die Bezeichnungen für den Typus [12] in den Tabellen 1 und 2 herrühren. Diese Autoren bestimmten aus dem Kapitulationstypus (kurz: Typus) κ imaginär quadratischer Zahlkörper K mit elementarer 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Rang ρ3(K)=2 die symbolische Ordnung, das heißt das Annihilatorideal [13] aller bivariaten Polynome f(X,Y)∈Z[X,Y] mit der Eigenschaft sf(x,y)=1, des Hauptkommutators s=[y,x] der metabelschen Gruppe M:=G32(K) vom Erzeugendenrang d1(M)=2, also mit zwei Generatoren x und y. Die zweite Komponente τ des Artin-Musters kam bei Scholz und Taussky noch in einer rudimentären Ausprägung in Form der 3-Klassenzahlen der vier unverzweigten zyklisch-kubischen Erweiterungen von K ins Spiel, war aber zusammen mit κ hinreichend für die eindeutige Identifikation der Gruppe M. In der experimentellen, computerunterstützten Mathematik dient das Artin-Muster als Suchbegriff für Datenbankabfragen entweder in der SmallGroups Bibliothek [14] oder in Erweiterungen dieser Bibliothek, welche mit Hilfe des p-Gruppen Erzeugungsalgorithmus von Newman [15] und O' Brien [16] konstruiert werden. Die Verwendung der expliziten Struktur von τ in Form der abelschen Typinvarianten der 3-Klassengruppen (anstelle der 3-Klassenzahlen) der vier unverzweigten zyklisch-kubischen Erweiterungen von K kann dabei zu einer erheblichen Einschränkung der Kandidaten für die Gruppe M führen.

Konkrete Beispiele von p-Klassenkörpertürmen

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Systematisch erforscht wurden bisher die p-Klassenkörpertürme von quadratischen Zahlkörpern für ungerade Primzahlen p≥3. Ein quadratischer Zahlkörper K=Q(√d) entsteht durch Adjunktion einer der beiden Nullstellen √d und -√d des Polynoms p(X)=X2-d mit einer Fundamentaldiskriminante d≡0,1(mod 4), d≠1, an den Körper Q der rationalen Zahlen. Einige grundlegende Regeln für die Länge λp(K) des p-Klassenkörperturms eines quadratischen Zahlkörpers K lassen sich in Termen des p-Klassenrangs ρp(K) von K ausdrücken:

  • Der triviale Fall λp(K)=0 tritt bei einem beliebigen Zahlkörper K genau dann auf, wenn auch ρp(K)=0, also die Klassenzahl von K nicht durch p teilbar ist.
  • Einstufige Türme mit λp(K)=1 sind bei quadratischen Grundkörpern K charakteristisch für zyklische p-Klassengruppen mit ρp(K)=1. Diese Äquivalenz geht bei anderen Arten von Grundkörpern leider verloren. So ist für Zahlkörper K dritten und vierten Grades die Bedingung ρp(K)=1 zwar noch hinreichend aber im allgemeinen nicht mehr notwendig für λp(K)=1.
  • Koch und Venkov [6] haben gezeigt, dass imaginär-quadratische Zahlkörper K mit mindestens dreibasiger p-Klassengruppe, also mit ρp(K)≥3, einen unendlichen p-Klassenkörperturm mit λp(K)=∞ besitzen.
  • Den abwechslungsreichsten Fall bilden die quadratischen Zahlkörper K mit p-Klassenrang ρp(K)=2, für die theoretisch alle Längen 2≤λp(K)≤∞möglich sind, von denen aber bisher (Stand 25.04.2020) nur Situationen mit λp(K)=2 und λp(K)=3 rigoros nachgewiesen werden konnten.

Die zweite Etage G32(K) des 3-Klassenkörperturms aller quadratischen Zahlkörper K=Q(√d) mit Fundamentaldiskriminanten d im Bereich -106<d<107 und elementarer 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Rang zwei wurde im Jahre 2010 in einem aufwändigen, mehrere Monate an CPU-Zeit in Anspruch nehmenden Projekt [17] bestimmt, dessen zugrundeliegende neuartige Algorithmen unter dem Schlagwort Kapitulationstypus mittels Klassengruppenstruktur [2] publiziert wurden, weil für die Bewältigung der 4596 zu analysierenden Zahlkörper der von Scholz und Taussky [11], sowie auch von Heider und Schmithals [18], benutzte Algorithmus zu wenig effizient gewesen wäre.

Die dritte Etage G33(K) eines 3-Klassenkörperturms, nämlich jedes imaginär-quadratischen Zahlkörpers K=Q(√d), d<0, mit elementarer 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Rang zwei und Artin-Muster AP=(κ,τ) mit Kapitulation κ=(2231) vom Typus E.9 und logarithmischen abelschen Quotienten-Invarianten τ=[32,21,21,21], wurde im Lauf der Geschichte erstmals 2012 von Boston, Bush und Mayer [3] unzweifelhaft mit präziser Länge λ3(K)=3 identifiziert, nachdem Scholz und Taussky[11], sowie Heider und Schmithals[18], die fehlerhafte Zweistufigkeit λ3(K)=2 behauptet hatten. Entscheidend für den Beweis war die Tatsache, dass die Metabelianisierung M=⟨2187,302⟩, bzw. ⟨2187,306⟩, von G keine Schur σ-Gruppe ist, die 3-Turmgruppe G=⟨6561,620⟩, bzw. ⟨6561,624⟩, mit dl(G)=3 hingegen sehr wohl.

Weitere exakt dreistufige 3-Klassenkörpertürme der Typen E.6, E.14 und E.8 für imaginär-quadratische Körper [1] sowie c.18 und c.21 für reell-quadratische Körper [10] wurden im Jahr 2015 entdeckt.

Im gleichen Jahr wurden auch reell-quadratische Körper der Typen E.6, E.14, E.8 und E.9 auf die Länge ihres 3-Klassenkörperturms untersucht, [9] wobei sich die Kuriosität herausstellte, dass die von Scholz und Taussky für den imaginären Fall fälschlich behauptete Länge λ3(K)=2 im reellen Fall tatsächlich erlaubt ist und von der Dreistufigkeit λ3(K)=3 durch streng deterministische Kriterien unterschieden werden kann.

Im Jahr 2017 schließlich gelang noch die Ermittlung der Feinstruktur der reell-quadratischen Zahlkörper K=Q(√d), d>0, mit elementarer 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Rang zwei und Artin-Muster AP=(κ,τ) mit vierfacher Totalkapitulation κ=(0000) vom Typus a.1 (und beliebigen abelschen Quotienten-Invarianten τ) unter Verwendung der sogenannten tiefen Verlagerungen. [8]

Tabelle 1, bzw. 2, zeigt die essentiellen Invarianten des 3-Klassenkörperturmes F3(K) von allen imaginären, bzw. reellen, quadratischen Zahlkörpern K=Q(√d) mit der Minimaldiskriminante d für das jeweilige Artin-Muster AP=(κ,τ), falls die Ordnungen der beiden Galoisgruppen G32(K) und G3(K) den Maximalwert 6561 der SmallGroups Datenbank [14] nicht überschreiten. Zahlreiche konkrete Beispiele mit 3-Turmgruppen G höherer logarithmischer Ordnung lo(G)>8 sind bekannt, [10] [9] sollen aber hier nicht explizit angeführt werden, weil die Bezeichnungsweise für diese Gruppen mit Relativ-Identitäten leider viel Platz in Anspruch nimmt und auf den ersten Blick unübersichtlich aussieht. Die Symbole ↑, bzw. ↑↑, hinter dem Typus heben erste, bzw. zweite, Anregungszustände gegenüber dem Grundzustand hervor, das bedeutet Varianten von τ bei festem Typus κ. Bei Gleichheit von G32(K) und G3(K) ist λ3(K)=2, bei Verschiedenheit ist G3(K)=G33(K) und λ3(K)=3.

Ein auffallender Unterschied in der Ordnung ord(G) der 3-Turmgruppe G und gelegentlich sogar in der Länge λ3(K) des 3-Klassenkörperturms wurde zwischen imaginär-quadratischen Zahlkörpern mit negativen Diskriminanten d<0 und reell-quadratischen Zahlkörpern mit positiven Diskriminanten d>0 bei übereinstimmendem Artin-Muster AP=(κ,τ) festgestellt. So besitzen die Körper K mit Diskriminanten d=-3896 und d=957013 übereinstimmend den Typus H.4 mit κ=(4443), τ=[111,111,21,111], isomorphe zweite 3-Klassengruppen G32(K)≅⟨729,45⟩ und dieselbe Länge λ3(K)=3, aber die Schur σ-Gruppe G3(K)≅⟨6561,606⟩ im imaginären Fall hat größere Ordnung als die 3-Turmgruppe G:=G3(K)≅⟨2187,273⟩ mit Relationenrang d2(G)=3 im reellen Fall. Noch gravierender ist das unterschiedliche Verhalten bei den Körpern K mit Diskriminanten d=-15544 und d=7153097. Während der Typus E.6 mit κ=(1313), τ=[32,21,111,21] und die zweiten 3-Klassengruppen G32(K)≅⟨2187,288⟩ übereinstimmen, besteht der anspruchsvolle imaginäre Körper nach dem Satz von Koch und Venkov natürlich auf der Schur σ-Gruppe G3(K)≅⟨6561,616⟩ mit λ3(K)=3 aber der genügsame reelle Körper ist schon mit der nicht-balancierten Gruppe G3(K)≅⟨2187,288⟩ mit λ3(K)=2 zufrieden.

Ungelöste Probleme bei unendlichem p-Klassenkörperturm

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Der p-Klassenkörperturm Fp(K) eines Zahlkörpers K kann nur dann als bekannt betrachtet werden, wenn eine pro-p-Präsentation seiner Galois-Gruppe, also der p-Turmgruppe Gp(K), mit expliziten Generatoren und Relationen vorliegt. Bei einem unendlichen Turm mit der Länge λp(K)=∞ könnte aus dieser pro-p-Präsentation ein analytischer Ausdruck n→Ordn für das Wachstum der Ordnungen Ordn:=ord(Gpn(K)) der abzählbar unendlich vielen Stufen des Turmes in Abhängigkeit von n≥2 angegeben werden.

Leider ist man derzeit von der Lösung dieses hochinteressanten Problems noch meilenweit entfernt. Beispielsweise besitzt der imaginär-quadratische Zahlkörper K=Q(√d) mit Fundamentaldiskriminante d=-4447704 eine elementare 3-Klassengruppe vom Rang ρ3(K)=3, also mit logarithmischen abelschen Typinvarianten [111], und somit nach der obenstehenden grundlegenden Regel 3 einen unendlichen 3-Klassenkörperturm mit λ3(K)=∞. Aber die Werte der Funktion Ordn sind für n≥3 völlig unbekannt und für n=2, also für die Ordnung der zweiten 3-Klassengruppe Gal(F32(K)/K), konnte unter enormem Aufwand an CPU-Zeit nur die untere Abschätzung Ord2≥317 berechnet werden. [9]

Referenzen (Belege)

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