Jml314

Maaßsche Wellenformen

Allgemeines

Die Gruppe $G:=SL_{2}(\mathbb {R} )$ operiert auf der oberen Halbebene $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {Z} :Im(z)>0\}$ durch $g.z:={\frac {az+b}{cz+d}}$ wobei $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in \Gamma .$ Für festes $g\in G$ ist die Abbildung $\phi :\mathbb {H} \to \mathbb {H} \,,\,z\mapsto g.z$ ein Diffeomorphismus. Damit operiert $G$ auch auf $C^{\infty }(\mathbb {H} )$ durch $g.f(z):=L_{g}(f)(z):=f(g^{-1}z)\,,\,z\in \mathbb {H}$.

Definition des hyperbolischen Laplace Operators

Der hyperbolische Laplace Operator auf $\mathbb {H}$ wird definiert durch

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta :C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} )$ ,

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta (f)=-y^{2}({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}})$

Definition einer Maaßschen Wellenform

Eine Maaßsche Wellenform zur Gruppe $\Gamma (1):=SL_{2}(\mathbb {Z} )$ ist eine glatte Funktion $f$ auf $\mathbb {H}$ so dass

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1)\,f(\gamma z)=f(z)\,\,\,\forall \,\gamma \,\in \,\Gamma (1)$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2)\,\Delta (f)=\lambda f$ für ein $\lambda \in \mathbb {C}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3)$ es existiert ein $N\in \mathbb {N}$ mit $f(x+iy)={\mathcal {O}}(y^{N})$ für $y\geq 1$

Gilt außerdem

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int _{0}^{1}f(z+t)dt=0\,\,\,\forall \,z\in \mathbb {H}$

dann nennen wir $f$ Maaß-Spitzenform.

Zusammenhang von Maaßschen Wellenformen und Dirichletreihen

Sei nun $f$ eine Maaßsche Wellenform. Dann gilt wegen $\gamma :={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)\,f(z)=f(\gamma .z)=f(z+1)\,\forall \,z\in \mathbb {H}$ . Damit hat $f$ eine Fourier-Entwicklung der Gestalt $f(x+iy)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi inx}$ , wobei die Koeffizientenfunktionen glatt sind.

Wir beobachten außerdem : $f$ ist eine Maaß-Spitzenform genau dann wenn $a_{0}(y)=0\,\,\,\forall y>0$, denn

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0=\int _{0}^{1}f(z+t)dt$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\int _{0}^{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi in(x+t)}dt$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi inx}\int _{0}^{1}e^{2\pi int}dt$ (*)

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=a_{0}(y)$

wobei in (*) benutzt wurde, dass die Reihe $\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi in(x+t)}dt$ für festes $y>0$ lokal gleichmäßig konvergiert.

Definition: Die K-Besselfunktion ist für$y>0$ definiert durch

$K_{s}(y):={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-y(t+t^{-1})/2}t^{s}{\frac {dt}{t}}\,\,,s\in \mathbb {C}$.

Das Integral konvergiert für $y>0$ lokal gleichmäßig in $s\in \mathbb {C}$ und es gilt die Abschätzung

$K_{s}(y)\leq e^{-y/2}K_{Re(s)}(2)$ falls $y>4$.

Damit fällt$K_{s}$ betragsmäßig exponentiell für $y\to \infty$. Außerdem gilt $K_{-s}(y)=K_{s}(y)$ für alle $s\in \mathbb {C}$ , $y>0$. Für einen Beweis siehe zum Beispiel Deitmar, Automorphe Formen S.55.

Lemma : Fourierkoeffizienten einer Maaßschen Wellenform

Sei $\lambda \in \mathbb {C}$ der Eigenwert der Maaßschen Wellenform f bezüglich $\Delta$. Sei $\nu \in \mathbb {C}$ die bis aufs Vorzeichen eindeutige komplexe Zahl mit $\lambda ={\frac {1}{4}}-\nu ^{2}$. Dann gilt für die Fourierkoeffizientenfunktionen von $f$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |r|y)\,\,\,,\,\,\,c_{n}\in \mathbb {C}$

falls $n\neq 0$. Ist $n=0$ so gilt

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{0}(y)=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}}+\nu }$ mit $c_{0},\,d_{0}\in \mathbb {C}$ .

Beweis : Es gilt $\Delta (f)=({\frac {1}{4}}-\nu ^{2})f$. Nach der Definition von Fourierkoeffizienten gilt für $n\in \mathbb {Z}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{n}=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx$

Zusammen folgt für $n\in \mathbb {Z}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,({\frac {1}{4}}-\nu ^{2})a_{n}$ $=\int _{0}^{1}({\frac {1}{4}}-\nu ^{2})f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\int _{0}^{1}(\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx}dx$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-y^{2}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx+\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\right)$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overset {(1)}{=}}-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=4\pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)$

In (1) wurde für den ersten Summanden benutzt, dass der n-te Fourierkoeffizient von ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}$ genau $(2\pi in)^{2}a_{n}(y)$ ist, da wir Fourierreihen gliedweise differenzieren dürfen. Im zweiten Summanden wurde die Reihenfolge von Integration und Differentiation geändert, was erlaubt ist, da f beliebig oft stetig differenzierbar nach y ist und man über ein Kompaktum integriert. Es ergibt sich folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)+({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}-4\pi n^{2}y^{2})a_{n}(y)=0$

Für $n=0$ kann man zeigen, dass für jede Lösung $f$ dieser Differentialgleichung eindeutige Koeffizienten $c_{0},d_{0}\in \mathbb {C}$ existieren so dass gilt $f(y)=c_{0}y^{{\frac {1}{4}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{4}}+\nu }$ .

Für $n\neq 0$ ist jede Lösung $f$ der obigen Differentialgleichung von der Form $f(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)+d_{n}{\sqrt {y}}I_{v}(2\pi |n|y)$ für eindeutige $c_{n},d_{n}\in \mathbb {C}$, wobei $K_{v}(s)$ die K-Besselfunktion und $I_{v}(s)$ die I-Besselfunktionen ist (Siehe dazu zum Beispiel O.Forster : Analysis 2). Da die I-Besselfunktion exponentiell wächst und die K-Besselfunktion exponentiell fällt, folgt mit der Forderung 3) des höchstens polynomialen Wachstums von $f\,\,\,$ $a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)$ (also $d_{n}=0$) für ein eindeutiges $c_{n}\in \mathbb {C} .\,\,\,\square$

Sei $i(z):=-{\overline {z}}$. Dann operiert i auf allen Funktionen $f$ der oberen Halbebene $\mathbb {H}$ via $i(f):=f(i(z))$. Man rechnet leicht nach, dass $\Delta$ mit i vertauscht. Wir nennen eine Maaßsche Wellenform $f$ gerade, wenn $i(f)=f$ und ungerade wenn $i(f)=-f$. Ist f eine Maaßsche Wellenform, so ist insbesondere damit ${\frac {1}{2}}(f+i(f))$ eine gerade Maaßsche Wellenform und ${\frac {1}{2}}(f-i(f))$ eine ungerade Maaßsche Wellenform und es gilt $f={\frac {1}{2}}(f+i(f))+{\frac {1}{2}}(f-i(f))$.

Satz : L-Funktion einer Maaßschen Wellenform

Sei $f(x+iy)=\sum _{n\neq 0}c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |n|y)e^{2\pi inx}$ eine Maaß-Spitzenform. Wir definieren die sogenannte L-Funktion von $f$ als

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,L(s,f)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}$ .

Dann konvergiert die Reihe $L(s,f)$ für $Re(s)>{\frac {3}{2}}$ und man kann sie zu einer ganzen Funktion auf $\mathbb {C}$ fortsetzen.

Ist f gerade oder ungerade so definiert man

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Lambda (s,f):=\pi ^{-s}\Gamma ({\frac {s+\epsilon +\nu }{2}})\Gamma ({\frac {s+\epsilon -\nu }{2}})L(s,f)$

wobei $\epsilon =0$ falls $f$ gerade und $\epsilon =-1$ falls $f$ ungerade ist. Dann erfüllt $\Lambda$ die Funktionalgleichung

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Lambda (s,f)=(-1)^{\epsilon }\Lambda (1-s,f)$ .

Beweis:

Sei f eine Maaß-Spitzenform. Zuerst machen wir uns klar wie schnell die Fourierkoeffizienten von f wachsen.

Behauptung: Es gilt $c_{n}={\mathcal {O}}(n^{\frac {1}{2}})$

Beweis: Da f eine Maas-Spitzenform ist, existieren $C,N>0$ so dass für $y>1$ die Ungleichung $|f(x+iy)|\leq Cy^{N}$ gilt. Ist $y<{\frac {1}{2}}$ , und ist $\omega \in D$ konjugiert zu $z=x+iy$ modulo $\Gamma (1)$ so rechnet man leicht nach, dass $Im(\omega )\leq {\frac {1}{y}}$ gilt. Da f invariant unter $\Gamma (1)$ ist, gilt für $y<{\frac {1}{2}}$ : $|f(x+iy)|\leq Cy^{-N}$. Also gilt für $y<{\frac {1}{2}}$ die Abschätzung

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|c_{n}|{\sqrt {y}}|K_{\nu }(2\pi |n|y)\leq \int _{0}^{1}|f(x+iy)|dx\leq Cy^{-N}$.

Für $n\in \mathbb {Z} \,,|n|>2$ und $y={\frac {1}{|n|}}$ gilt damit

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|c_{n}|\leq Cr^{N+{\frac {1}{2}}}|K_{\nu }(2\pi )|^{-1}$.

Damit finden wir eine Konstante $D\geq C$ so dass für jedes $n\neq 0$ gilt

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|c_{n}|\leq Dr^{N+{\frac {1}{2}}}|K_{\nu }(2\pi )|^{-1}$.

Nun fällt die K-Besselfunktion aber exponentiell schnell und f ist eine Maas-Spitzenform. Zusammen folgt, dass f auf dem Fundamentalbereich von $\Gamma (1)$ beschränkt beschränkt ist und damit auf $\mathbb {H}$. Damit können wir den obigen Beweis mit $N=0$ wiederholen und erhalten $|c_{n}|\leq Kn^{\frac {1}{2}}$ für ein $K<\infty$ also $c_{n}={\mathcal {O}}(n^{\frac {1}{2}})\,.\,\,\square$.

Um den Satz zu beweisen brauchen wir noch die Mellin-Transformierte von $K_{\nu }$.

Behauptung: Für $Re(s)>|Re(\nu )|$ konvergiert das Integral

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int _{0}^{\infty }K_{\nu }(y)y^{s}{\frac {dy}{y}}$

absolut und es gilt

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int _{0}^{\infty }K_{\nu }(y)y^{s}{\frac {dy}{y}}=2^{s-2}\Gamma ({\frac {s+\nu }{2}})\Gamma ({\frac {s-\nu }{2}})$ .

Beweis: Nach Definition gilt

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int _{0}^{\infty }K_{\nu }(y)y^{s}{\frac {dy}{y}}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-y(t+t^{-1})/2}t^{s}{\frac {dt}{t}}{\frac {dy}{y}}$

Wir wenden nun die Transformationsformel auf den Diffeomorphismus

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Phi :(0,\infty )\times (0,\infty )\to (0,\infty )\times (0,\infty )$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Phi (t,y)({\frac {1}{2}}t^{-1}y,{\frac {1}{2}}ty)=(u,v)$

an. Wir erhalten $y=2{\sqrt {uv}}$ und $t={\sqrt {\frac {v}{u}}}$. Das Jacobi-Matrix ergibt sich als

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D\Phi (t,y)={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-{\frac {y}{t^{2}}}&{\frac {1}{t}}\\y&t\\\end{pmatrix}}$

mit Determinante $det(D\Phi )(t,y)=-{\frac {y}{2t}}$. Benutzt man nun die Transformationsformel vereinfacht sich obiges Integral zu

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}2^{s-1}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-u-v}v^{(s+\nu )/2}u^{(s-v)/2}{\frac {dv}{v}}{\frac {du}{u}}=2^{s-2}\Gamma ({\frac {s+\nu }{2}})\Gamma ({\frac {s-\nu }{2}})$

und dieses konvergiert absolut für $Re(s)>|Re(\nu )|\,\,\,\square$.

Nun zum Beweis des Satzes. Ist f gerade oder ungerade folgt aus der Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten $a_{n}=(-1)^{\epsilon }$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Sei f zuerst gerade. Dann gilt

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int _{0}^{\infty }f(iy)y^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {dy}{y}}$ $=2\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}y^{s-1}K_{\nu }(2\pi ny)\,dy$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\int _{0}^{\infty }y^{s-1}K_{\nu }(2\pi ny)dy$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(2\pi n)^{-s}\int _{0}^{\infty }y^{s-1}K_{\nu }(y)dy$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2(2\pi )^{-s}\left(\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}\right)2^{s-2}\Gamma \left({\frac {s+\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s-\nu }{2}}\right)$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={\frac {1}{2}}\pi ^{s}\Gamma \left({\frac {s+\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s-\nu }{2}}\right)L(s,f)$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={\frac {1}{2}}\Lambda (s,f)$

Das vertauschen der Reihenfolge von Integral und Summe zeigt man zum Beispiel mit majorisierter Konvergenz, wobei man ausnutzt, dass für die K-Besselfunktion für $y>4$ gilt : $|K_{s}|\leq e^{-{\frac {y}{2}}}K_{Re(s)}(2)$. Ebenso zeigt man dass $f(iy)$ für $y\to \infty$ exponentiell fällt.

Wir definieren nun

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Lambda _{1}(s,f):=\int _{1}^{\infty }f(iy)y^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {dy}{y}}$ ,

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Lambda _{2}(s,f):=\int _{0}^{1}f(iy)y^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {dy}{y}}$.

Damit gilt $\Lambda =2(\Lambda _{1}+\Lambda _{2})$. Da $f(iy)$ exponentiell fällt für $y\to \infty$ konvergiert $\Lambda _{1}(s,f)$ für jedes $s\in \mathbb {C}$ und damit ist $\Lambda _{1}$ eine ganze Funktion (Komplexe Analysis). Nun ist $f$ aber invariant unter $\Gamma (1)$ womit insbesondere $f(iy)=f\left({\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}.iy\right)=f\left({\frac {1}{-iy}}\right)=f\left(i{\frac {1}{y}}\right)$ folgt.

Wir erhalten nun

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Lambda _{2}(s,f):=\int _{0}^{1}f(iy)y^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {dy}{y}}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\int _{1}^{\infty }f(i{\frac {1}{y}})y^{-s+{\frac {1}{2}}}{\frac {dy}{y}}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\int _{1}^{\infty }f(iy)y^{(1-s)-{\frac {1}{2}}}{\frac {dy}{y}}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\Lambda _{1}(1-s,f)$.

Damit ist auch $\Lambda _{2}$ eine ganze Funktion und damit ist $\Lambda$ ganz. Insbesondere kann man damit $L\left(s,f\right)$ zu einer ganzen Funktion auf $\mathbb {C}$ fortsetzen. Weiterhin gilt für $\Lambda$ die Funktionalgleichung

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Lambda (s,f)=2(\Lambda _{1}(s,f)+\Lambda _{2}(s,f)=2(\Lambda _{1}(s,f)+\Lambda _{1}(1-s,f))=\Lambda (1-s,f)$ .

Wenn f ungerade ist, definiert man

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g(z)={\frac {1}{4\pi i}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(z)=\sum _{1}^{\infty }c_{n}n{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi ny)cos(2\pi nx)$ .

Dann rechnet man analog zu oben

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int _{0}^{\infty }g(iy)y^{s+{\frac {1}{2}}}{\frac {dy}{y}}=\Lambda (s,f)$

indem man wieder benutzt, dass die K-Besselfunktion exponential fällt. Wir definieren wieder

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Lambda _{1}(s,f):=\int _{1}^{\infty }g(iy)y^{s+{\frac {1}{2}}}{\frac {dy}{y}}$ ,

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Lambda _{2}(s,f):=\int _{0}^{1}g(iy)y^{s+{\frac {1}{2}}}{\frac {dy}{y}}$ .

Auch $g(iy)$ fällt exponentiell für $y\to \infty$. Damit ist auch $\Lambda _{1}$ wieder eine ganze Funktion. Man rechnet leicht nach, dass gilt $g(iy)=-{\frac {1}{y^{2}}}g\left({\frac {i}{y}}\right)$. Damit folgt mit einer analogen Rechnung $\Lambda _{2}(s,f)=-\Lambda _{1}(1-s,f)$. Damit ist $\Lambda$ auch im ungeraden Fall ganz und der Satz ist bewiesen.$\,\,\,\square$.

Beispiel : Die nichtholomorphe Eisensteinreihe

Lemma: Die Reihe $S(z,s):=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{|mz+n|^{s}}}$ konvergiert absolut in $z\in \mathbb {H}$, wenn $Re(s)>2$. Genauer konvergiert die Summe gleichmäßig auf jeder Menge $K\times \{Re(s)\geq \alpha \}$, für jedes Kompaktum $K\subset \mathbb {H}$ und jedes $\alpha >2$.

Beweis siehe Anton Deitmar, Automorphe Formen Lemma 1.2.1. $\,\,\,\,\square$

Definition der nichtholomorphen Eisenstein-Reihe E

Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe wird für $z\in \mathbb {H}$ und $s\in \mathbb {C}$ definiert durch

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,E(z,s):=\pi ^{-s}\Gamma (s){\frac {1}{2}}\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}}$

wobei $\Gamma (s)$ die Gammafunktion ist.

Nach obigen Lemma konvergiert die Reihe absolut in $z\in \mathbb {H}$ für $Re(s)>1$ und lokal gleichmäßig in $\mathbb {H} \times \{Re(s)>1\}$. Damit ist E als Limes stetiger Funktionen stetig in $\mathbb {H} \times \{Re(s)>1\}$. Für festes $z\in \mathbb {H}$ ist $E$ sogar holomorph in ${Re(s)>1}$, da nach Weierstraß der lokalgleichmäßige Limes holomorpher Funktionen wieder holomorph ist.

Lemma: Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe $E(z,s)$ ist für $Re(s)>2$ glatt in $z\in \mathbb {H}$.

Beweis: siehe Anton Deitmar, Automorphe Formen Lemma 2.7.3. $\,\,\,\,\square$

Um zu zeigen, dass E tatsächlich invariant in $z\in \mathbb {H}$ unter der Operation von $\Gamma (1)$ ist, brauchen wir noch folgendes Lemma.

Lemma: Sei $\Gamma _{\infty }:=\pm {\begin{pmatrix}1&\mathbb {Z} \\0&1\\\end{pmatrix}}$ Dann ist die Abbildung

$\Gamma _{\infty }\backslash \Gamma \to \{\pm (x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}/\{\pm 1\}:ggT(x,y)=1\}$

$\Gamma _{\infty }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\mapsto \pm (c,d)$

eine Bijektion.

Beweis : siehe Deitmar, Automorphe Formen Lemma 2.7.4. $\,\,\,\,\square$

Nun zur $\Gamma (1)$-Invarianz von $E$ :

Proposition:

(a) Sei . ${\tilde {E}}(z,s):=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }Im(\gamma z)^{s}$. Dann konvergiert ${\tilde {E}}$ absolut in $z\in \mathbb {H}$ für $Re(s)>1$ und es gilt $E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)$ .

(b) Es gilt $E(\gamma z,s)=E(z,s)$ für jedes $\gamma \in \Gamma (1)$.

Beweis:

zu (a): Für $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)$ gilt $Im(\gamma z)={\frac {Im(z)}{|cz+d|^{2}}}$. Damit folgt mit obigem Lemma

${\tilde {E}}(z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }Im(\gamma z)^{s}=\sum _{(c,d)=1\,mod\pm 1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}$

Damit folgt die absolute Konvergenz in $z\in \mathbb {H}$ für $Re(s)>1$ wieder mit dem ersten Lemma.

Des Weiteren folgt

$\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\sum _{(c,d)=1\,mod\pm 1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{(c,d)=1\,mod\pm 1}{\frac {y^{s}}{|ncz+nd|^{2s}}}=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}}$ ,

denn die Abbildung $\mathbb {N} \times \{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}:ggT(x,y)=1\}\to \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\},(n,(x,y))\mapsto (nx,ny)$ ist eine Bijektion.

Damit folgt (a).

zu (b): Für ${\tilde {\gamma }}\in \Gamma (1)$ gilt ${\tilde {E}}({\tilde {\gamma }}z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }Im({\tilde {\gamma }}\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }Im(\gamma z)^{s}={\tilde {E}}(\gamma z,s)$.

Nach (a) ist damit auch $E$ invariant unter $\Gamma (1)$. $\,\,\,\,\square$

Damit gilt insbesondere $E(z+1,s)=E(z,s)$, also hat E eine Fourier-Entwicklung.

Satz zur Fourier-Entwicklung von $E$:

Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe besitzt eine Fourier-Enwticklung

$E(z,s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y,s)e^{2\pi inx}$

wobei die Fourierkoeffizienten gegeben sind durch

$a_{0}(y,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)y^{s}+\pi ^{s-1}\Gamma (1-s)\zeta (2(1-s))y^{1-s}$

$a_{n}(y,s)=2|n|^{2-{\frac {1}{2}}}\sigma _{1-2s}(|n|){\sqrt {y}}K_{s-{\frac {1}{2}}}(2\pi |n|y)\,,\,n\neq 0$.

Für $z\in \mathbb {H}$ hat E(z,s) eine meromorphe Forsetzung in s auf ganz $\mathbb {C}$. Diese ist holomorph bis auf einfache Pole in $s=0\,,\,1$.

Die Eisenstein-Reihe erfüllt für jedes $z\in \mathbb {H}$ die Funktionalgleichung

$E(z,s)=E(z,1-s)$

und es gilt lokal gleichmäßig in $x\in \mathbb {R}$ die Wachstumsbedingung

$E(x+iy,s)={\mathcal {0}}(y^{\sigma })$

wobei $\sigma =max(Re(s),1-Re(s))$.

Beweis: siehe Deitmar, Automorphe Formen Satz 2.7.7.$\,\,\,\,\square$

Um zeigen zu können, dass E eine Maaßsche Wellenform ist, fehlt uns noch eine Eigenschaft des hyperbolischen Laplace Operators $\Delta$.

Lemma: $\Delta$ vertauscht mit der Operation von $G$ auf $C^{\infty }(\mathbb {H} )$. Genauer gilt für jedes $g\in G$

$L_{g}\Delta =\Delta L_{g}$

Beweis: Die Gruppe $SL_{2}(\mathbb {R} )$ wird erzeugt von den Elementen der Form ${\begin{pmatrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}}$ mit $a\in \mathbb {R} ^{\times }$, ${\begin{pmatrix}1&x\\0&1\\\end{pmatrix}}$ mit $x\in \mathbb {R}$ und $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}$. Man rechnet die Behauptung auf diesen Erzeugern nach und erhält somit die Behauptung für jedes $g\in SL_{2}(\mathbb {R} )$. $\,\,\,\square$

Damit können wir nun zeigen, dass E eine Maaßsche Wellenform ist.

Satz : E ist eine Maaßsche Wellenform

Beweis: E ist invariant unter $\Gamma (1)$ und wächst polynomial für $y\to \infty$ (siehe oben). Wir müssen also nur noch die Eigenwertgleichung bezüglich $\Delta$ zeigen. Wegen $E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)$ (vergleiche oben) reicht es die Eigengleichung für ${\tilde {E}}$ zu zeigen. Es gilt

$\Delta {\tilde {E}}(z,s):=\Delta \sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }Im(\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Delta Im(\gamma z)^{s}$

da die Reihen $\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }{\frac {\partial }{\partial x}}Im(\gamma z)^{s}\,,\,\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }{\frac {\partial }{\partial y}}Im(\gamma z)^{s}\,,\,\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}Im(\gamma z)^{s}\,,\,\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}Im(\gamma z)^{s}$ für $Re(s)>3$ alle lokal gleichmäßig konvergieren und wir deswegen die Reihenfolge von Differentiation und Summe vertauschen dürfen. Außerdem gilt

$\Delta (Im(z)^{s})=\Delta (y^{s})=-y^{2}({\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial y^{2}}})=s(1-s)y^{s}$.

Da der Laplace Operator mit der Operation von $\Gamma (1)$ vertauscht, folgt für jedes $\gamma \in \Gamma (1)$

$\Delta (Im(\gamma z)^{s})=s(1-s)Im(\gamma z)^{s}$ und damit $\Delta {\tilde {E}}(z,s)=s(1-s){\tilde {E}}(z,s)$.

Damit gilt für $Re(s)>3$ die Eigengleichung auch für $E$. Um die Behauptung für jedes $s\in \mathbb {C}$ zu erhalten, betrachte die Funktion $\Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s)$. Man schreibt diese Funktion mit Hilfe der Fourier-Entwicklung von $E$ explizit aus und erkennt, dass sie meromorph ist. Nun verschwindet sie aber für $Re(s)>3$, damit ist sie nach dem Identitätssatz identisch Null und die Eigengleichung gilt für jedes $s\in \mathbb {C}$.$\,\,\,\,\square$

Maaßsche Wellenformen von Gewicht k

Definition: Für beliebiges $k\in \mathbb {Z}$ sei $\Delta _{k}$ der Operator auf $C^{\infty }(\mathbb {H} )$ definiert durch

$\Delta _{k}:=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}$.

Dann gilt offensichtlich $\Delta _{0}=\Delta$, wobei $\Delta$ der hyperbolische Laplace Operator ist.

Definition Maaßsche Wellenformen vom Gewicht k

Eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht $k\in \mathbb {Z}$ zur Gruppe $\Gamma (1):=SL_{2}(\mathbb {Z} )$ ist eine glatte Funktion $f$ auf $\mathbb {H}$ so dass

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1)\,f(\gamma z)=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{k}f(z)\,\,\,\forall \,\gamma \,\in \,\Gamma (1)$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2)\,\Delta _{k}(f)=\lambda f$ für ein $\lambda \in \mathbb {C}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3)$ es existiert ein $N\in \mathbb {N}$ mit $f(x+iy)={\mathcal {O}}(y^{N})$ für $y\geq 1$.

Wir geben nun ein erstes Beispiel einer Maaßschen Wellenform vom Gewicht k>1

Proposition : Sei $g:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ eine Modulform vom Gewicht $k\in 2\mathbb {N}$ zur Gruppe $\Gamma (1)$. Dann ist $f(z):=y^{\frac {k}{2}}g(z)$ eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht k zur Gruppe $\Gamma (1)$.

Beweis: Da g eine Modulform ist, ist g holomorph, also insbesondere glatt in $\mathbb {H}$. Damit ist $f$ glatt. Sei nun $\gamma \in \Gamma (1)$. Dann gilt

$f(\gamma z)=Im(\gamma z)^{\frac {k}{2}}g(\gamma z)=\left({\frac {Im(z)}{|cz+d|^{2}}}\right)^{\frac {k}{2}}(cz+d)^{k}g(z)=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{k}f(z)$.

Da g eine Modulform ist, ist g insbesondere holomorph in $\infty$, d.h $g(x+iy)\to c\in \mathbb {C}$ für $y\to \infty$. Damit existiert aber ein $N\in \mathbb {N}$ so dass f(z):= $y^{\frac {k}{2}}g(z)={\mathcal {O}}(y^{N})$ für $y\geq 1$. Wir zeigen nun noch die Eigengleichung für $f$. Da g holomorph ist gelten die Riemannschen Differentialgleichungen, also ${\frac {\partial g}{\partial x}}=-i{\frac {\partial g}{\partial y}}$ und damit folgt mit dem Satz von Schwarz ${\frac {\partial ^{2}g}{\partial x^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}g}{\partial y^{2}}}$. Es gilt dann

$\Delta _{k}(y^{\frac {k}{2}}g)$

$=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}y^{\frac {k}{2}}g}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}y^{\frac {k}{2}}g}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial y^{\frac {k}{2}}g}{\partial x}}$

$=-y^{2}\left(-y^{\frac {k}{2}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial y^{2}}}+{\frac {k}{2}}\left({\frac {k}{2}}-1\right)y^{{\frac {k}{2}}-2}g+ky^{{\frac {k}{2}}-1}{\frac {\partial g}{\partial y}}+y^{\frac {k}{2}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial y^{2}}}\right)+ky^{{\frac {k}{2}}+1}{\frac {\partial g}{\partial y}}$

$={\frac {k}{2}}\left(1-{\frac {k}{2}}\right)y^{\frac {k}{2}}g$

Damit ist f eine Maaßsche Form vom Gewicht k zur Gruppe $\Gamma (1)$.$\,\,\,\square$

Man definiert zudem sogenannte Maaßsche Differentialoperatoren auf $C^{\infty }(\mathbb {H} )$ durch

$R_{k}=iy{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {k}{2}}$ und $L_{k}=-iy{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}-{\frac {k}{2}}$ für $k\in \mathbb {Z}$ beliebig.

Dann gilt für jedes $k\in \mathbb {Z}$

$\Delta _{k}=-L_{k+2}R_{k}-{\frac {k}{2}}\left(1+{\frac {k}{2}}\right)=-R_{k-2}L_{k}+{\frac {k}{2}}\left(1-{\frac {k}{2}}\right)$.