Hier sammle ich prägnante, kurze Informationen, zum Lernen für meine morgige Mathearbeit.

D Definitionsbereich:

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Wie weit geht Gleichung auf x-Achse?

W Wertebereich:

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Wie hoch geht Gleichung auf y-Achse?

Lineare Funktionen

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Normalform Lineare Funktion

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y = mx +b, oder

 


m = Steigung b = Verschiebungskonstante (y-Achsen Höhe)

Steigung bei Geraden (2 Punkte):

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Steigung anhand des Steigungsdreieicks

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Distanz von P zu Ursprung/zu Q

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d² = x² + y²

Ursprung

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Bsp.: P(3/4)

d² = 3² + 4² = 25

d = 5 (Wurzel d²!)

Zu anderem Punkt (Q)

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Für   gilt:

 

Bsp.:P(3/4), Q(1/2)

d² = (1-3)² + (2-4)²

d² = (-2)² + (-2)²

d² = 8

Schnitt von Geraden

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  1. Beide Gleichungen gleichsetzen: f(x) = g(x)
  2. x auf eine Seite bringen
  3. x isolieren
  4. x in eine der Gleichungen einsetzen
  5. y berechnen

Bsp.:

 ,  

Gleichsetzen:

 

x isolieren:

 

 

 


x einsetzen und y berechnen:

 

 

 

Geraden Parallel setzen

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Es muss nur b verändert werden.

Bsp.:

Gegeben: y = 2x + 3

Gesucht: Parallele durch P(3/5)


Steigung m=2 gleich, da Parallel.

Punkt P in obige Gleichung einsetzen:

5 = 2 * 3 + b

b = -1

Funktionsgleichung der parallelen Geraden: y = 2x -1

Geraden senkrecht zueinander

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Selber Funktionsterm.

Steigung m muss zum negativen Kehrwert umgewandelt werden (glaube ich).

  muss -1 ergeben.

Mittelpunkt einer Geraden

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Länge einer Geraden

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Quadratische Funktionen

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Normalform Quadratische Funktion

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y = ax² + bx + c

Parameter a

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Stauchen/drücken/spiegeln

  • a > 0 ... der Graph ist nach oben geöffnet. (1;2;3;4...)
  • a < 0 ... der Graph ist nach unten geöffnetnet. (-1;-2;-3;-4...)
  • | a | > 1 ... der Graph ist gestreckt, d.h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint. (1;2;3;4...)
  • | a | < 1 ... der Graph ist gestaucht, d.h. in zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint. (0,1;0,2;0,3;0,4...)
  • Für a = - 1 ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt.

     

Parameter b

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Seitliche Verschiebung des Graphen (x-Achse).

f(x) = (x − 1)2 = x² − 2x + 1

(!) f(x) = x2 + 1x und f(x) = x2 + 2x verschieben gleichzeitig um 1 nach unten.

Parameter c

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Höhen Verschiebung des Graphen (y-Achse).

  • c um 1 erhöht: Graph um 1 Einheit nach oben
  • c um 1 verringert: Graph um 1 Einheit nach unten

Beispiele

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f(x) = x²             | 4 nach oben

g(x) = x² + 4         | 2 nach rechts

h(x) = (x-2)² + 4     | Streckung um 2 entlang y-Achse

i(x) = 2*[(x-2)² + 4]

     = 2*(x-2)² + 8   | Spiegeln an x-Achse

j(x) = -1*[2(x-2)² + 8]

     = -2*(x-2)²-8

Schnittpunkt mit y-Achse

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x = 0

f(0) = ... -14 => P(0/-14)

Nullstellen

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Lösen mit pq-Formel

Normalform (OHNE ax²): y = x² + bx + c

 

WENN ax² vorhanden, z.B. y = 3x² + 9x + 30, dann y gleich Null stellen und Formel durch 3 teilen:

0 = 3x² + 3x + 30 | :3

0 = x² + 3x + 10

 

D > 0, dann 2 Nullstellen

D = 0, dann eine Nullstelle,

D < 0, dann keine Nullstellen.


a, b, c mit Additions/Subtraktions Verfahren

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  1. Alle gegebenen Punkte in Funktion einsetzen.
  2. Additions- Subtraktions Verfahren Anwenden (ggf. z.B. I-II und III-II und im 2. Schritt I'+II')
  3. Ergebnis: Entweder a, b, oder c.
  4. Variable in letzte Stufe einsetzen, 2. Variable errechnen.
  5. Beide Variablen in 1. Stufe einsetzen, 3. Variable errechnen.

Beispiel

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P1(-2/12) P2(1/3) P3(3/7)

y = ax² + bx + c

 

 

 

I' + II' = 30a = 30

a = 1

2. Stufe:

6 * 1 - 6b = 18 | -6

-6b = 12 | :(-6)

b = -2

1. Stufe:

1 + (-2) + c = 3

-1 + c = 3 | -3

-4 + c = 0 | -c

-4 = -c | *(-1)

4 = c

Scheitel(form)

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Scheitelform:  

Scheitel auf  

Schneller/Einfacher:

 


Beispiel:

f(x) = 2 x 2 + 4x + 5

 

Kurz: S(-1|3)