Das Separationstheorem ist ein fundamentaler Satz für den Entwurf von Zustandsreglern mit Beobachtern. Er besagt, dass die Eigenwerte eine Zustandsregelung ohne Beobachter nicht verschoben werden, wenn die Zustandsgrößen von einem Beobachter rekonstruiert werden. Die Pole des Beobachters treten zu den Polen hinzu. Damit kann zunächst der Regler ohne Berücksichtigung des notwendigen Beobachters entworfen werden. Dieser wird dann in einem zweiten Entwurfsschritt ergänzt. [1]

Weiterhin kann gezeigt werden, dass das Führungsverhalten nur von den Polen der Regelung bestimmt wird, während des Störverhalten von den Polen der Regelung und des Beobachters bestimmt wird.

Herleitung

Bearbeiten

Der Beobachter wird durch

  (1)

beschrieben. Aufgrund von Modellfehlern wird zwischen  , der Systemmatrix des Beobachters und  , der Systemmatrix der Strecke unterschieden. Entsprechendes gilt für   und  .

Für den Regler gilt

  (2)

und für die Strecke

  (3)

wobei   die Eingangsmatrix der Störgrößen und   die Störgrößen selber sind.

Mit

 
 

kann man nun schreiben:

 
 

und

 


 

Im Idealfall sind die realen und die Modellgrößen  ,   identisch, so dass man schreiben kann.

 
  1. Otto Föllinger: Regelungstechnik, Einführung in die Methoden und ihre Anwendung. 8. Auflage. Hüthig Verlag, Heidelberg 1994, ISBN 3-7785-2336-8. Abschn. 13.7.6/(13.200)