Benutzer:HeinrichKü/Entwurf „Entwurf und Parametrierung von Standard-Reglern“

Stetige lineare Regler

• Grundlagen des Regelkreises:

Ein Regelkreis ist stabil, wenn nach einer endlichen Einstellung der Führungsgröße oder bei Vorliegen von Störsignalen seine Regelgröße endlich bleibt. Ändert sich die Führungsgröße gegen Null, dann klingt die Regelgröße gegen Null ab.

Asymptotische Stabilität: Ein Übertragungssystem (Regelkreis) ist intern stabil, wenn alle (Teil-)Übertragungsfunktionen nur Pole (Nullstelle des Nennerpolynoms) in der linken s-Halbebene haben.

• Verhalten eines Reglers:

Das Verhalten eines unbekannten stetigen Reglers kann durch eine Sprungantwort oder Impulsantwort grafisch ermittelt und daraus eine mathematische Beschreibung gebildet werden. Das Verhalten eines Reglers im Regelkreis kann nur bei Kenntnis der Übertragungsfunktionen G(s) der Regelstrecke bestimmt werden.

• Komponenten einer Regelstrecke:

Sind die mathematischen Komponenten einer Regelstrecke in Form einer Übertragungsfunktion G(s) bekannt, können die Eigenschaften eines optimalen Reglers bestimmt werden.

• Typische mathematische Modelle der Regelstreckenkomponenten mit stetigem Verhalten:

PT1-Glieder, Instabile T1-Glieder, I-Glieder, Totzeitglieder, Allpassglieder als Ersatztotzeit, PT2KK-Glieder. Differenzierende Übertragungsglieder sind selten in einer Regelstrecke zu finden. Häufig findet man in Regelstrecken nichtlineare Übertragungsglieder wie Hysterese, Begrenzungseffekte, Nichtlineare Kennlinie und andere.

• Regelkreisverhalten:

Anforderungen für das Verhalten des Regelkreises sind z.B. das Folgeverhalten, Gütekriterien für das Einschwingen der Regelgröße, gutes Störverhalten, Großsignalverhalten und andere laut Lastenheft.

• Parametrierung des Reglers:

Sind die Parameter des Reglers und der Regelstrecke bekannt, kann ausschließlich mit Hilfe einer einfachen Methode der numerischen Mathematik das Ein- Ausgangsverhalten des Regelkreises berechnet werden, z.B. als Sprungantwort y(t) für einen Führungsgrößensprung w(t). Das graphische Ergebnis bezeichnet man als Trajektorie (Bahnkurve).

$\to$ siehe auch Artikel Regelkreis

$\to$ siehe auch Artikel Regelstrecke

$\to$ siehe auch Artikel Differenzengleichung (Differenzenverfahren)

$\to$ siehe auch Artikel Seminumerischer Algorithmus

Entwurf und Parametrierung von Standardreglern an Regelstrecken

Je nach Anforderung der Qualität des Regelung, der Stückzahl der Regler, die Art der vorhandenen Signale der Strecke, die Art der gegebenen Hilfsstromversorgung und auch ob Sicherheitsvorschriften berücksichtigt werden müssen, kann entschieden werden, ob ein unstetiger Regler, ein analoger Regler, ein digitaler Regler und evtl. redundante Einrichtungen eingesetzt werden können.

Was grundsätzlich bei der Auswahl des Reglers und der Parametrierung interessiert:

• zeitliches Verhalten der Regelgröße bis zum Erreichen des Sollwertes,
• Höhe der Überschwingung bzw. den Dämpfungsgrad der Ausgangsgröße,
• Verhalten des Einflusses der Störgrößen,

(Siehe Artikel Anforderungen an einen Regelkreis)

• Nach welchen Gesichtspunkten erfolgt die Parametrierung des Reglers.

Für die Auswahl des Reglers und dessen Parametrierung muss die Regelstrecke bekannt sein. Der idealste Fall wäre gegeben, wenn die Beschreibung der Regelstrecke als Übertragungsfunktion (LZI-System) vorliegen würde. Dies ist jedoch selten gegeben. Deshalb müssen Maßnahmen ergriffen werden, die Übertragungsfunktion der Regelstrecke durch geeignete Verfahren zu ermitteln. Siehe dazu Kapitel „Experimentelle Identifikation von Regelstrecken“

Parametrierung eines PID-Reglers für eine lineare Regelstrecke

Bei den linearen Standardreglern spielen Materialkosten keine Rolle, wenn es um die Entscheidung geht, einen P-, PI-, PD- oder PID-Regler zu verwenden. Es wird hier ein Beispiel des PID-Reglers betrachtet. Wie schon im Kapitel „Lineare Standardregler“ definiert, hat der PID-Regler folgende Eigenschaften:

• Er kann 2 PT1-Glieder der Strecke kompensieren und damit die Strecke vereinfachen,
• Er hat vermeidet eine statische Regelabweichung,
• Bedingt durch den I-Anteil fügt der Regler eine Polstelle mit 180 ° Phasenverschiebung in die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises ein.

Allen der nachfolgend geschilderten Verfahren der Parametrierung ist gemeinsam, dass für eine erfolgreiche Dimensionierung des Regelkreises noch weitere Einflüsse berücksichtigt werden müssen:

• Bei analogen Bauelementen müssen bei D-Gliedern sogenannte parasitäre Verzögerungen berücksichtigt werden.
• Bei analogen und digitalen Reglern müssen Amplituden-Begrenzungen berücksichtigt werden, die das Regelverhalten stark beeinflussen können,
• Ein gefordertes Störverhalten muss evtl. auf Kosten des guten Führungsverhaltens berücksichtigt werden.

Regelstrecke für 3 Fallbeispiele:

Steckenparameter einer Srungantwort durch die Tangente am Wendepunkt

Es wird eine Regelstrecke 4. Ordnung mit folgender Übertragungsfunktion betrachtet:

Gs1(s ) = 1 / [(2,4*s+1)*(1,2*s+1)*(0,6*s+1)*(0,1*s+1)]

Beispiel-Anwendungen:

• 1. Es wird angenommen, dass die Regelstrecke nach G1(s) als Sprungantwort grafisch vorliegt. Ermittlung der Streckenbeiwerte einer Ersatzstrecke aus der Sprungantwort Gs1(s) nach dem Wendetangentenverfahren.

Dimensionierung eines PID-Reglers nach dem Faustformelverfahren.

Darstellung der Sprungantwort des Regelkreises.

• 2. Dimensionierung eines PID-Reglers für die Strecke Gs1(s) nach dem Verfahren der Polstellen-Nullstellenkompensation.

Darstellung der Sprungantwort des Regelkreises.

• 3. Von der Regelstrecke Gs1(s) wird angenommen, dass sie nur als Sprungantwort vorliegt und eine Ersatz-Übertragungsfunktion gefunden wurde.

$Gs2(s)={\frac {e^{-0,5*s}}{(1,9*s+1)^{2}}}$

Dimensionierung eines PID-Reglers nach dem Verfahren der Polstellen- Nullstellenkompensation.

Darstellung der Sprungantwort des Regelkreises.

Beispiel PID-Reglerstruktur für vorgegebene Einstellwerte (Faustformelverfahren)

Für die Verfahren zur Identifikation der Regelstrecke, die sich nicht auf die Definition der Ersatz-Übertragungsfunktion (Ziegler-Nichols, T-Summenregel) sondern auf Einstelldaten für verschiedene Standardregler beziehen, kommt für die Anwendung des PID-Reglers nur die Parallelstruktur in Frage:

GR(s) = Kp*(1+1/(Tn*s)+Tv*s)

Die Werte für die Vorhaltezeit Tv und der Nachstellzeit Tn sind nach dieser Gleichung definiert, wenngleich eine Umrechnung in die Produktdarstellung sich genau so darstellt, wie im nachfolgenden Beispiel definiert, haben die Beiwerte Kp, Tn und Tv eine andere Bedeutung, sie sind mit einander verknüpft.

Nach Chiem, Hrones und Reswick können für die 3 erforderlichen Parameter des PID-Reglers solche Werte gewählt werden, dass für den geschlossenen Regelkreis die Sprungantwort aperiodisch oder mit 20% Überschwingungen verläuft. Des Weiteren können diese beiden Fälle noch mit unterschiedlichen Führungseigenschaften und Störeigenschaften gewählt werden.

Sprungantwort eines Regelkreises nach dem "Faustformelverfahren"

Für einen PID-Regler mit Führungsverhalten und aperiodischem Einschwingen der Regelgröße werden folgende Einstellwerte angegeben:

Kp = 0,6*Tg / (Ks*Tu), Tn = Tg, Tv = 0,5*Tu

Man darf davon ausgehen, dass es sich bei diesen Angaben nur um „Annäherungswerte“ handelt, denn es ist nicht bekannt, wie diese Daten entstanden sind:

• Ungenauigkeiten beispielsweise bei dem Wendetangentenverfahren als Funktion der Sprungantwort unterschiedlicher Ordnung der Verzögerungsglieder.
• Unter welchen Signalbegrenzungen wurden die Einstelldaten gewonnen? Es darf angenommen werden, dass im Jahre 1952 nur Analogrechner zur Verfügung standen.
• Wie wurde mit dem D-Glied differenziert, hat man eine parasitäre Zeitkonstante berücksichtigt?
• Welche Störungsübertragungsfunktion wurde berücksichtigt. Greift die Störung am Eingang der Strecke oder am Ausgang der Strecke an?

Grafische Darstellung

Die dargestellten 2 Abbildungen beziehen sich auf die Ermittlung der Ersatzstrecke nebst Kennwerten und der Sprungantwort des so dimensionierten Regelkreises mit PID-Regler. Für die Parametrierung des Reglers wurde „Führungsverhalten mit aperiodischem Einschwingen" gewählt. Der Verlauf der Regelgröße zeigt kein aperiodisches Verhalten und ist außerdem schlecht gedämpft.

Beispiel PID-Reglerstruktur für eine Regelstrecke 2. oder höherer Ordnung mit bekannter Übertragungsfunktion

Parametrierung eines PID-Reglers nach der Polstellen- Nullstellenkompensation

Liegt die Übertragungsfunktion der Strecke vor, empfiehlt sich für die Parametrierung des Reglers die Methode der Polstellen-Nullstellenkompensation anzuwenden. Der PID-Regler wird in Produktschreibweise definiert, d.h. der PID-Regler wird aus den Anteilen der Gesamtverstärkung des offenen Kreises und den beiden PD-Gliedern zusammengefasst.

• Gesamtverstärkung K = KPID*Ks
• PD-Glied Gr1(s) = Tv1*s+1)
• PD-Glied Gr2(s) = Tv2*s+1)
• I-Glied Gr3(s) = 1 / s

Damit stehen 2 unabhängige PD-Glieder für die Kompensation von 2 PT1-Gliedern zur Verfügung. Die Übertragungsfunktion des PID-Reglers lautet damit:

Gr(s) = K*(Tv1*s+1)*(Tv2*s+1) / s

Strategie der Dimensionierung des PID-Reglers nach der Polstellen- Nullstellenkompensation

Es werden die 2 Verzögerungsglieder mit den größten Zeitkonstanten kompensiert. Damit fehlt nur noch die Dimensionierung von K. Der damit wirksame offene „Rest-Regelkreis“ nach der Kompensation besteht noch aus K, I-Glied und einem oder mehreren PT1-Gliedern.

Für die Berechnung der Gesamtverstärkung K des Reglers gibt es einfache Zusammenhänge, die davon abhängen, ob weitere Verzögerungen oder eine Totzeit der Strecke vorliegen.

Durch Analyse eines Regelkreises bestehend aus einem I-Glied und einem PT1-Glied kann man nachweisen, dass für eine bestimmte Kreisverstärkung K für beliebig große PT1-Glieder mit der Zeitkonstante T eine konstante Dämpfung der Regelgröße erreicht wird.

K = 0,5 / T für eine Überschwingung der Sprungantwort von 5 % für alle T-Werte,

K = 0,7 / T für eine Überschwingung der Sprungantwort von 10 % für alle T-Werte.

Liegen noch weitere Verzögerungen vor, können die Zeitkonstanten addiert werden, mit dem Nachteil, dass sich die Dämpfung verschlechtert.

Mit diesen Angaben kann ein PID-Regler für eine nichtschwingende PT3-Regestrecke – also 3. Ordnung – direkt für gutes Führungsverhalten dimensioniert werden.

• Bei insgesamt 2 Verzögerungen

Wenn keine weiteren Verzögerungen vorhanden sind, kann für K theoretisch eine unendliche Verstärkung gewählt werden.

• Bei insgesamt 3 bis 4 Verzögerungen

Wenn nur eine weitere 3. bzw. eine dominante Zeitkonstante T3 und eine 4. wesentlich kleinere Zeitkonstante T4 vorliegt, gilt folgende Beziehung:

K = 0,7 / T3 oder K = 0,7 / ( T3+T4)

Bei dieser Verstärkung K ergibt sich eine Überschwingung von 10 % für die Sprungantwort!

Grafische Darstellung

Die Sprungantwort zeigt entsprechend der Parametrierung des PID-Reglers den gewünschten Verlauf. Wegen der Zeitkonstante T4 beträgt die Überschwingung anstatt 10% ca. 12%.

Beispiel: PID-Reglerstruktur für eine Regelstrecke mit 2 Verzögerungen und einer Totzeit

Steckenparameter nach einer Ersatzregelstrecke mit 2 PT1-Gliedern und einer Totzeit

Siehe Kapitel „Experimentelle Identifikation von Regelstrecken“

Für die im Beispiel aufgeführte Regelstrecke Gs1(s) wurde aus der Sprungantwort eine Ersatz-Übertragungsfunktion Gs2(s) durch ein Simulationsprogramm gefunden, das aus 2 gleichen PT1-Gliedern und einem Totzeitglied besteht. Der Verlauf der Sprungantworten beider Regelstrecken unterscheidet sich um weniger als 1 % des Maximalwertes. Die Übertragungsfunktion der Ersatzregelstrecke lautet:

Gs2(s) = e^(-sTt) / (T*s+1)² = e^(-s*0,5) / (1,9*s+1)²

Der empfohlene PID-Regler wird in faktorieller Darstellung wie im vorhergehenden Beispiel definiert:

Gr(s) = K*(Tv1*s+1)*(Tv2*s+1) / s

Durch Analyse eines Regelkreises bestehend aus einem I-Glied und einem Totzeitglied kann man nachweisen, dass für eine bestimmte Kreisverstärkung K für beliebig große Tt-Werte eine konstante Dämpfung der Regelgröße erreicht wird.

K = 0,5 / Tt für eine Überschwingung der Sprungantwort von 5 % für alle Tt-Werte,

K = 0,6 / Tt für eine Überschwingung der Sprungantwort von 10 % für alle Tt-Werte.

Die Ermittlung der Parameter erfolgt durch die Polstellen-Nullstellenkompensation.

Tv1 = 1,9 [s], Tv2 = 1,9 [s], K = 0,6 / 0,5 = 1,2 für 10 % Überschwingungen.

Grafische Darstellung

Bei der in diesem Beispiel dargestellten Grafik wird in der Simulation als Regelstrecke die (eigentlich unbekannte) Originalfunktion Gs1(s) berücksichtigt. Die Parametrierung des Reglers erfolgte nach der durch Simulation gefundenen Ersatzfunktion. Die Sprungantworten der beiden Regelstrecken Gs1(s) und Gs2(s) sind nahezu identisch. Der Verlauf der Regelgröße ist ähnlich wie in dem vorherigen Beispiel mit direkter Parametrierung des Reglers nach der Übertragungsfunktion Gs1(s).

Einschränkungen:

Die nach diesen Vorgaben eingesetzte Strategie der Auslegung des PID-Reglers für eine gegebene Regelstrecke nach Beispiel 2 uns 3 ist einfach und ergibt in der Simulation des Regelkreises für eine Sprungantwort ein gutes Führungsverhalten, dass nicht nachjustiert werden muss.

In der Realität müssen die nachfolgend geschilderten Punkte beachtet werden:

• Parasitäre Zeitkonstante

Für den Einsatz analoger Regler mit einem D-Glied muss eine kleine parasitäre Zeitkonstante hinzugefügt werden, anderenfalls würde die Ausgangsstufe von der Eingangsimpedanz des D-Gliedes zu stark belastet. Diese zusätzliche Verzögerung führt in dem geschlossenen Regelkreis zu einer Verschlechterung der Dämpfung.

• Signalbegrenzungen

Bei analogen Reglern lassen sich Signalbegrenzungen nicht vermeiden. Das Ziel muss sein, wenigstens im Arbeitsbereich des Reglers für eine Regelgröße von 100 % die Begrenzungen erst bei dem 5- bis 10-fachen Wert wirken zu lassen. Die Begrenzung der Strecke muss der des Reglers angepasst sein.

Bei digitalen Reglern ist zu prüfen, ob die Schnittstelle Regler-Strecke die genannten Bedingungen einhält.

• Forderungen der Störverhaltens

Wenn die Störgröße am Ausgang der Regelstrecke angreift, bestimmt die sogenannte charakterische Gleichung - das Nennerpolynom - das Verhalten der Störungsübertragungsfunktion. Die charakteristische Gleichung ist für das Führungsverhalten wie auch für das Störverhalten identisch. Durch Erhöhung der Kreisverstärkung wird das Abklingen der Störung reduziert und gleichzeitig die Dämpfung verschlechtert.

Greift die Störung z.B. am Eingang der Regelstrecke an, muss ein Kompromiss zwischen guter Führungs- oder Störungseigenschaft getroffen werden. Eine Reduzierung der Amplitude dieses Störeinflusses erfordert eine Erhöhung der Kreisverstärkung und der Zeitkonstanten Tv. Damit verschlechtert sich die Dämpfung der Regelgröße u.U. erheblich. Ein guter Kompromiss kann mit einem Simulationsprogramm gefunden werden.

• Sind die Parameter der Regelstrecke auf Dauer konstant?

Bestimmung der Eckfrequenzen einer gegebenen Übertragungsfunktion zur Konstruktion eines Bode-Diagramms

Die Eckfrequenzen $\omega _{E}=1/T$ zur Konstruktion des Bode-Diagramms lassen sich aus den Zeitkonstanten T der faktoriellen Zeitkonstantendarstellung der Übertragungsfunktion bestimmen. Eine gegebene Übertragungsfunktion in der Polynomdarstellung wird über die Pol- Nulldarstellung in die Zeitkonstantendarstellung mit Linearfaktoren 1. Ordnung oder 2. Ordnung überführt. Dabei sind die Asymptoten für voreilende und nacheilende Funktionen in einem Diagramm mit logarithmischer Einteilung des Amplitudenverlaufs über der Frequenz $\omega$ an den Eckfrequenzen $\omega _{E}$ einzutragen.

Für eine gegebene Übertragungsfunktion müssen Zahlenwerte vorliegen, damit festgestellt werden kann, ob das System konjugiert komplexe Pole oder Nullstellen enthält, die zu Übertragungsteilsystemen nicht zerlegbarer Linearfaktoren 2. Ordnung führen.

Zerlegung einer gegebenen Übertragungsfunktion von der Polynomdarstellung in eine Pol-Nullstellendarstellung und in die Zeitkonstantendarstellung:

Beispiel einer Polynomdarstellung nach gängiger Nomenklatur mit Zahlenwerten für ein System mit reellen Polen

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{1}s+b_{0}}{a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s}}={\frac {5s+2}{2s^{3}+7s^{2}+4s}}$

Wenn Zahlenwerte vorliegen, können mit verschiedenen Methoden, wie mit der pq-Formel $x^{2}+px+q=0$ für Systeme 2. Ordnung, oder fertige im Internet verfügbare Programme bis 4. Ordnung mit dem Aufruf - "Nullstellen (Lösungen) von Polynomen bestimmen" - bestimmt werden.

Ergebnis nach Programm "Nullstellenbestimmung bis 4. Ordnung":

• Nullstelle PD1-Glied: $s_{n}=-{\frac {b_{0}}{b_{1}}}=-{\frac {2}{5}}=-0,4$

• Pole der PT1-Glieder des Nennerpolynoms: $s_{p1}=-2,78;\quad s_{p2}=-0,72$

• Pol des I-Glieds: $s_{p3}=0$

Pol- Nullstellendarstellung

Die Potenzen von s symbolisieren Ableitungen der Differenzialquotienten der zugehörigen Differenzialgleichung. Die höchsten Ableitungen von s, mit den Koeffizienten b1 und a3, im Zähler und Nenner werden freigestellt.

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{1}}{a_{3}}}\cdot {\frac {s+{\frac {b_{0}}{b_{1}}}}{(s^{2}+{\frac {a_{2}}{a_{3}}}s+{\frac {a_{1}}{a_{3}}})s}}={\frac {b_{1}}{a_{3}}}\cdot {\frac {s-s_{n}}{(s-s_{p1})(s-s_{p2})(s-0)}}={\frac {2,5(s+0,4)}{(s+2,78)(s+0,72)s}}$

Zeitkonstantendarstellung

Bei der Zeitkonstantendarstellung werden die Linearfaktoren der Pol- Nullstellendarstellung durch die Werte der Pole und Nullstellen dividiert. Der nicht von s abhängige Term wird zu 1 gesetzt.

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {2,5(s+0,4)}{(s+2,78)(s+0,72)s}}={\frac {2,5\cdot 0,4\cdot ({\frac {1}{0,4}}s+1)}{2,78\cdot ({\frac {1}{2,78}}s+1)\cdot 0,72\cdot ({\frac {1}{0,72}}s+1)s}}={\frac {0,5\cdot (2,5s+1)}{(0,36s+1)(1,39s+1)s}}$

Die Eckfrequenzen $\omega _{E}=1/T$ zur Konstruktion des Bode-Diagramms lassen sich aus den Zeitkonstanten T bestimmen.

Teilsysteme	Zeitkonstanten [s]	Eckfrequenzen [1 / s]
PD1-Glied	T1 = 2,5	$\omega _{E_{1}}=0,4$
PT1-Glied	T2 = 0,36	$\omega _{E_{2}}=2,78$
PT1-Glied	T3 = 1,39	$\omega _{E_{3}}=0,72$
I-Glied	T4 = 1 / 0,5 = 2	$\omega _{E_{4}}=0,5$

Beispiel einer Polynomdarstellung mit Zahlenwerten für ein System mit konjugiert komplexen Polen:

Polynomdarstellung in Pol- Nullstellendarstellung

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{1}s+b_{0}}{a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s}}={\frac {5s+2}{2s^{3}+3s^{2}+4s}}={\frac {5\cdot (s+0,4)}{2\cdot (s^{2}+1,5s+2)s}}$

Ergebnis nach Programm "Nullstellenbestimmung bis 4. Ordnung":

• Nullstelle PD1-Glied: $s_{n}=-{\frac {b_{0}}{b_{1}}}=-{\frac {2}{5}}=-0,4$
• Polstellen Schwingungsglied: $s_{p1;2}=-0,75\pm j1,2$
• Polstelle I-Glied: $s_{p3}=0$

Zeitkonstantendarstellung

Bei der Zeitkonstantendarstellung werden die Linearfaktoren der Pol- Nullstellendarstellung durch die Werte der Pole und Nullstellen dividiert. Der nicht von s abhängige Term wird zu 1 gesetzt. Zur Vermeidung komplexer Zahlenwerte des Nennerpolynoms ist eine faktorielle Zerlegung nicht möglich.

Überführung von der Pol- Nullstellendarstellung in die Zeitkonstantendarstellung:

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {5\cdot (s+0,4)}{2\cdot (s^{2}+1,5s+2)s}}={\frac {5\cdot 0,4\cdot (2,5s+1)}{2\cdot 2\cdot (0,5s^{2}+0,75s+1)s}}\quad {\widehat {=}}\quad {\frac {2,5s+1}{2\cdot s\cdot (T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1)}}$

Durch Faktorenvergleich des Nennerpolynoms 2. Ordnung mit der Normalform des Schwingungsgliedes können die Zeitkonstanten bestimmt werden: $T^{\,2}=0,5$.
Die Dämpfung des Schwingungsgliedes errechnet sich aus $2\cdot D\cdot T=0,75$.

Die Eckfrequenzen $\omega _{E}=1/T$ zur Konstruktion des Bode-Diagramms lassen sich aus den Zeitkonstanten T bestimmen.

Teilsysteme	Zeitkonstanten [s]	Eckfrequenzen [1 / s]
PD1-Glied	T1 = 2,5	$\omega _{E_{1}}=0,4$
PT2KK-Glied	$T_{2}={\sqrt {0,5}}=0,707$	$\omega _{E_{2}}=1,41$
PT2KK-Glied	$T_{3}={\sqrt {0,5}}=0,707$	$\omega _{E_{3}}=1,41$
I-Glied	T4 = 2	$\omega _{E_{4}}=0,5$

Blockschaltbild eines Hilfsregelkreises zur Simulation eines PT2_KK-Schwingungsgliedes.

Jan Lunze: Regelungstechnik 1: Systemtheoretische Grundlagen, Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen. 7. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-68907-2.

Einzelnachweise

Formatierungs-Formelsammlung

1)

$G(s)={\frac {{\mathcal {L}}\left\{Z{\ddot {a}}hler\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{Nenner\right\}}}$

2)

$A_{2}=\left.{\frac {6}{(s)\cdot (s+4)}}\right|_{s=-2}=-1,5$

3)

$G(s)=\left.{\frac {1}{(T\cdot s+1)^{n}}}\right|_{T=T_{2}\ beiAbfall}^{T=T_{1}\ beiAnstieg}$

4)

$u(t)=f[e(t)]=d\cdot sign[e(t)]{\begin{cases}d,f{\ddot {u}}r\ e(t)>0,\\0,f{\ddot {u}}r\ e(t)=0,\\-d,f{\ddot {u}}r\ e(t)<0,\end{cases}}$

5)

$G(s)={\begin{cases}{\frac {b_{0}}{a_{0}}}\cdot (1-e^{-a_{0}\cdot t}),&{\text{wenn }}a_{0}\not =0\\b_{0}\cdot t,&{\text{wenn }}a_{0}=0\end{cases}}$

6)

$G(s)={\begin{cases}{\frac {1}{({\frac {T}{n}}\cdot s+1)^{n}}},&{\text{wenn }}a_{0}\not =0\\{\frac {1}{({\frac {T}{n}}\cdot s+1)^{n}}},&{\text{wenn }}a_{0}=0\end{cases}}$

7)

"background-color:#F0FFF0" hellgrün

1. FFEFDB braun
2. FFF8DC gelb
3. FFF5EE hellbraun

$y_{(k)}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T}}$

$F(j\omega )={\frac {K\cdot a}{a^{2}+b^{2}}}-j{\frac {K\cdot b}{a^{2}+b^{2}}}$

$F(j\omega )={\frac {K\cdot a}{a^{2}+b^{2}}}-j{\frac {K\cdot b}{a^{2}+b^{2}}}$

$F(j\omega )={\frac {K\cdot a}{a^{2}+b^{2}}}-j{\frac {K\cdot b}{a^{2}+b^{2}}}$

8)

$g(t)=\sum _{k=1}^{n}A_{k}\cdot e^{\delta _{k}\cdot t}\cdot (\cos(\omega _{k}\cdot t)+j\cdot sin(\omega _{k}\cdot t))$

9)

$y(t)=\lim _{t\to \infty }K\cdot T_{V1}\cdot 0=0\,$

10)

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\color {red}b^{2}-4ac}}}{2a}}$

11)

$|G\cdot (j\omega )|=1\,$

12) Betrag:

$\left|A=B\right|\,$

13)

$g(t)=K\cdot (1-2\cdot e^{-{\frac {t}{T_{1}}}})$

14)

$y_{P}(t)=b_{0}\underbrace {\int _{0}^{t}e^{-a_{0}\cdot (t-\tau )}\cdot u(\tau )\cdot d\tau } _{Faltungsintegral}$

15)

$y_{(0)}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}\quad {\xrightarrow {t=0}}\quad y_{(0)}(t)=C_{1}+C_{2}$

16)

$u_{\delta }(t)\longrightarrow {\mathcal {L}}^{-1}\quad {\widehat {=}}\quad U_{\delta }(s)=1\,$

17_1)

$y_{0}\ {\xrightarrow {t=0}}\ \ 1=C_{1}+C_{2}\,$

17_2)

${\frac {1}{s+a}}\ \bullet \!\!-\!\!\circ \ e^{-at}$

17_3)

$g(t)\ \circ \!\!-\!\!\bullet \ G(s)$

17_4)

$y(t)={\mathcal {L}}^{-1}\underbrace {\left\{G(s)\cdot U(s)\right\}} _{Suchbegriff}$

17_5)

$U_{\delta }(t)\ \circ \!\!-\!\!\bullet \ {\mathcal {L}}^{-1}\,\{U_{\delta }(s)\}=1$

17_6)

${\begin{aligned}G(j\omega )&=\lim _{s\to j\omega }\end{aligned}}G(s)$

18)

${\underline {\underline {y_{H}(t)=-e^{-0,5\cdot t}+2\cdot e^{-t}}}}$

19) In der impliziten Form lässt sich eine DGL n-ter Ordnung wie folgt beschreiben:

$F(t;\ y;\ {\dot {y}};\ {\ddot {y}}\ \cdots y^{(n)})\,=0$

20) Ist die implizit dargestellte DGL nach der höchsten Ableitung y⁽ⁿ⁾ auflösbar, so ergibt sich die explizite Form:

$y^{(n)}=f(t;\ y;\ {\dot {y}};\ {\ddot {y}}\ \cdots y^{(n-1)})\,$

21)

$Grosse\ Klammer:\ G_{n}(s)=e^{-s\cdot T_{t}}\,\approx \,{\biggl (}{\frac {1-{\frac {T_{t}}{2\cdot n}}\cdot s}{1+{\frac {T_{t}}{2\cdot n}}\cdot s}}{\biggr )}^{n}$

22)

$Umlaute\ Text:\ f{\ddot {u}}r\ x=1\,$

23) Tabelle mit ungleicher Spaltenzahl

Artikel	Systembeschreibungen
Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel

24)

$Regel:\ \ \underbrace {WENN\ \ \underbrace {{\text{Innentemp kühl}}\ \ UND\ \ {\text{Außentemp kalt}}} _{Pr{\ddot {a}}misse\ (Vorbedingung)}\ \ DANN\ \ \underbrace {\text{Heizung auf Maximum}} _{Konklusion\ (Schlussfolg.)}} _{Implikation\ (Fuzzy-Regel)}$

25) Hinweis: Buchstabe ß unter math-Anweisung nicht gültig

26) Kleiner größer gleich:

\le oder \leq, \ge oder \geq

$\leq oder\leq ,\geq oder\geq \,$

27) Nummerierung:

1. Text Überschrift 1:
   • Text A
   • Text B
2. Text Überschrift 2:
   • Text C
   • Text D

28) Abkürzung "zum Beispiel":

z. B.

29) Bilder

Animation: Mathematisches Doppelpendel

Sprungantwort eines PT2-Schwingungsgliedes,
Dämpfung D = 0,125.

Bilddarstellung: 300px Siehe auch unter Hilfe:
Hilfe:Bildertutorial/4 Bildeinbindung

30) Linksammlung

Hinweis: "Da" für Diskussion des Artikels Regelkreis:
da

Kapitel: Testsignale im Artikel Regelstrecke:

Regelstrecke#Testsignale

Kapitel: Testsignale im Artikel Regelstrecke mit der Darstellung "Testsignale":

Testsignale

Diskussion: "Redundanz-Baustein" im Artikel Regelkreis hat ein Komma

Diskussion:Regelkreis#Redundanz-Baustein,

Diskussion: Regelkreis für "Regelung im Zustandsraum"

Diskussion:Regelkreis#Regelung im Zustandsraum

Diskussion: Artikel Regelkreis für "Regelung im Zustandsraum" mit Spezialhinweis:

Diskussion im Artikel Regelkreis "Regelung im Zustandsraum"

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Bilder auf de.wikipedia

============================================================================================================================================

Artikelzugriffsstatistik, de:WP Statistik

Anz

Literatur:

• Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik: Mit MATLAB und Simulink. 8. Auflage. Harri Deutsch, 2010, ISBN 978-3-8171-1859-5. 
• Manfred Reuter, Serge Zacher: Regelungstechnik für Ingenieure: Analyse, Simulation und Entwurf von Regelkreisen. 12. Auflage. Vieweg+Teubner, 2008, ISBN 3-8348-0018-X. 
• Schirotzek / Scholz: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 3. Auflage. B.G.Teubner, Stuttgart. Leipzig 1999, ISBN 3-519-00371-X(?!).