Benutzer:DrTrigon/Entwurf/Basistransformation zur reellen JNF

Reelle jordansche Normalform

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Mit   auf der Hauptdiagonalen und   oder   auf der Nebendiagonalen.

Beispiel

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Man betrachte die Matrix  , die wie folgt definiert ist

 

Ihr charakteristisches Polynom lautet  . Somit besitzt diese Matrix drei Eigenwerte, nämlich   und die komplexen Paare   und  . Nun berechnen wir die   für  . Vorausblickend auf die Basistransformation verwenden wir hier die Kerne (und um reell zu bleiben)  .

  ist die Einheitsmatrix, und diese hat vollen Rang, also 5. Die Dimension des Vektorraumes   beträgt ebenso 5. Also ist  .
 . Somit ist  .
 . Damit ist  .

Die Anzahl der Jordankästchen mit Größe 1 sind   Stück.

Die Anzahl der Jordanblöcke mit Größe 2 sind   Stück.

Da hier die Kästchen doppelt so gross sind, bleibt den anderen Kästchen jetzt nichts mehr anderes übrig, als die Größe 0 zu haben und das Kästchen zum Eigenwert 1 muss Grösse 1 haben.

Somit ist   beziehungsweise   die reelle jordansche Normalform von  .

Basistransformation zur reellen jordansche Normalform

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Mit   auf der Nebendiagonalen.

Zu beachten ist hier, dass das charakteristische Polynom nicht mehr in jedem Falle vollständig in Linearfaktoren zerfällt, allgemein zerfällt es nur in irreduzible Faktoren (im Reellen sind das lineare und quadratische Faktoren). Ein Verfahren funktioniert folgendermaßen:

  • Bestimme das charakteristische Polynom und faktorisiere es in irreduzible Faktoren. Es ergibt sich
 ,
wobei   paarweise verschiedene Eigenwerte mit Vielfachheit   bezeichnen. Weiter seien darin  ,  ,   und   paarweise verschieden.
  • Für jedes   bestimme man
  für  ,
worin   die kleinste natürliche Zahl ist mit  . Analog bestimme man für jedes  
  für  ,
worin   die kleinste natürliche Zahl ist mit  . Zudem setzen wir  .
  • Nun stelle man die jordansche Normalform auf. Es gilt hierbei
    •   ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert  , deren Größe größer oder gleich   ist.
    •   ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Faktor  , deren Größe größer oder gleich   ist.
Zudem ist   die Summe der Jordanblockgrößen zum Eigenwert   und   die Summe der Jordanblockgrößen zum Faktor  . Aus diesen Angaben kann man eindeutig die jordansche Normalform   bestimmen.
  • Nun bestimme man die Basistransformationsmatrix  , das heißt, man sucht eine reelle invertierbare Matrix  , so dass  .

Ein gängiges Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende:

  • Man arbeite die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben irreduziblen Faktor stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht. Zu jedem Block der Größe   werden   Spalten der Basistransformationsmatrix   nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in   die Spalten   belegt, so werden die Vektoren   in   ebenso (von links nach rechts) in die Spalten   eingefügt. Die Vektoren   werden nun wie folgt bestimmt:
    • Zu einem Jordanblock der Größe   zum Eigenwert   wähle man   beliebig, worin   die Menge der zuvor berechneten Spalten (das heißt Basisvektoren) der Stufe   aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert   (sofern vorhanden) bezeichnet. Anschließend setze man sukzessiv   für alle  .
    • Zu einem Jordanblock der Größe   zum irreduziblen Faktor   wähle man einen Vektor  , wobei   aus den bereits berechneten Hauptvektoren der Stufen   zum selben irreduziblen Faktor   besteht.
Dann setze man für   sukzessiv  
Schließlich setzt man   wie gehabt aus den Vektoren   zusammen.
  • Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblöcke abgearbeitet hat, werden am Ende alle Spalten von   aufgefüllt. Es gilt:   ist regulär und erfüllt  , und ihre Spalten bilden eine Basis, bezüglich derer   die Darstellung   besitzt.

Beispiel

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Als erläuterndes Beispiel betrachte man hierzu die Matrix

 

wie oben. Es gilt

  und  

und

  und  .

Ihre Jordannormalform lautet

 .

Man beginne mit dem ersten reellen Eigenwert und da mit dem ersten Jordanblock der Dimension 1. Hier gibt es nicht viele Möglichkeiten, man nehme

 

"beliebig", also  . Daraus erhält man  .

Nun gehe man zum ersten komplexen Eigenwert und da zum Jordanblock der Größe 2 über. Dazu wähle man

 

beliebig, beispielsweise  . Dann ist  ,   und   zu wählen. Daraus erhält man   eine reguläre Matrix mit  .



Notizen (nicht beachten, dient nur der Erstellung des Entwurfes)

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  ist äquivalent zu   und mit Basistransformation   folgt   äquivalent zu den vorigen.

Mit   folgt  

 ,  


  ist äquivalent zu   und mit Basistransformation   folgt   äquivalent zu den vorigen.