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Beispiel #1:
8. Hausaufgabenserie zur Vorlesung Logik {\displaystyle {\text{8. Hausaufgabenserie zur Vorlesung Logik}}}
Aufgabe 1 {\displaystyle {\text{Aufgabe 1}}}
F 1 = ∀ x ∃ y P ( x , y ) {\displaystyle F_{\text{1}}=\forall x\exists yP(x,y)}
F 2 = ∃ y ∀ x P ( x , y ) {\displaystyle F_{\text{2}}=\exists y\forall xP(x,y)}
A = ( U A , I A ) {\displaystyle {\mathcal {A}}=({\mathrm {U} _{\mathcal {A}}},{\mathrm {I} _{\mathcal {A}}})}
U A = N {\displaystyle {\mathrm {U} _{\mathcal {A}}}=\mathbb {N} }
I A = { ( m , n ) | m , n ∈ N , m < n } {\displaystyle {\mathrm {I} _{\mathcal {A}}}=\lbrace (m,n)|m,n\in \mathbb {N} ,m<n\rbrace }
A ( F 1 ) = m i n d ∈ N { m a x e ∈ N { A [ x | d , y | e ] P ( x , y ) } } {\displaystyle {\mathcal {A}}(F_{\text{1}})=min_{d\in \mathbb {N} }{\text{ }}\lbrace max_{e\in \mathbb {N} }{\text{ }}\lbrace {\mathrm {\mathcal {A}} _{[x|d,y|e]}}{\text{ }}P(x,y)\rbrace \rbrace }
A ( F 1 ) = { 1 , falls N abzaehlbar unendlich und ein Element groesser als sein Vorgaenger. 0 , sonst. {\displaystyle {\mathcal {A}}(F_{\text{1}})={\begin{cases}1,&{\text{falls }}\mathbb {N} {\text{ abzaehlbar unendlich und ein Element groesser als sein Vorgaenger.}}\\0,&{\text{sonst.}}\end{cases}}}
Aus der Definition der natuerlichen Zahlen folgt: A ( F 1 ) = 1 {\displaystyle {\text{Aus der Definition der natuerlichen Zahlen folgt: }}{\mathcal {A}}(F_{\text{1}})=1}
A ( F 2 ) = m a x d ∈ N { m i n e ∈ N { A [ x | d , y | e ] P ( x , y ) } } {\displaystyle {\mathcal {A}}(F_{\text{2}})=max_{d\in \mathbb {N} }{\text{ }}\lbrace min_{e\in \mathbb {N} }{\text{ }}\lbrace {\mathrm {\mathcal {A}} _{[x|d,y|e]}}{\text{ }}P(x,y)\rbrace \rbrace }
A ( F 2 ) = { 1 , falls N abzaehlbar unendlich und es gibt kein groesstes Element. 0 , sonst. {\displaystyle {\mathcal {A}}(F_{\text{2}})={\begin{cases}1,&{\text{falls }}\mathbb {N} {\text{ abzaehlbar unendlich und es gibt kein groesstes Element.}}\\0,&{\text{sonst.}}\end{cases}}}
Aus der Definition der natuerlichen Zahlen folgt: A ( F 2 ) = 0 {\displaystyle {\text{Aus der Definition der natuerlichen Zahlen folgt: }}{\mathcal {A}}(F_{\text{2}})=0}
Da A ⊨ F 2 und A ⊭ F 2 koennen F 1 und F 2 nicht semantisch aequivalent sein. {\displaystyle {\text{Da }}{\mathcal {A}}\models F_{\text{2}}{\text{ und }}{\mathcal {A}}\not \models F_{\text{2}}{\text{ koennen }}F_{\text{1}}{\text{ und }}F_{\text{2}}{\text{ nicht semantisch aequivalent sein.}}}
Aufgabe 2 {\displaystyle {\text{Aufgabe 2}}}
a ) {\displaystyle {\text{a}})}
F 1 = ∀ x ∃ y Q ( x , y ) ∨ ∃ y ¬ Q ( y , x ) {\displaystyle F_{\text{1}}=\forall x\exists yQ(x,y){\text{ }}\lor {\text{ }}\exists y\neg Q(y,x)}
BPF: ≡ ∀ x ∃ y ( Q ( x , y ) ¬ Q ( y , x ) {\displaystyle {\text{BPF: }}\equiv \forall x\exists y(Q(x,y){\text{ }}\neg Q(y,x)}
Skolemform: ≈ ∀ x ( Q ( x , f ( x ) ) ∨ ¬ Q ( f ( x ) , x ) ( y ersetzt durch f(x) ) {\displaystyle {\text{Skolemform: }}\approx \forall x(Q(x,f(x)){\text{ }}\lor {\text{ }}\neg Q(f(x),x){\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}({\text{y ersetzt durch f(x)}})}
b ) {\displaystyle {\text{b}})}
F 2 = ¬ ( ∃ y ∀ x R ( x , f ( y ) ) ) {\displaystyle F_{\text{2}}=\neg (\exists y\forall xR(x,f(y)))}
BPF: ≡ ∀ y ¬ R ( x , f ( y ) ) {\displaystyle {\text{BPF: }}\equiv \forall y\neg R(x,f(y))}
Skolemform: ≈ ∀ y ¬ R ( g ( y ) , f ( y ) ) ( x ersetzt durch g(y) ) {\displaystyle {\text{Skolemform: }}\approx \forall y\neg R(g(y),f(y)){\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}({\text{x ersetzt durch g(y)}})}
c ) {\displaystyle {\text{c}})}
F 3 = ∃ y ∀ x ( ¬ ∀ y P ( f ( x ) , y ) ) ) {\displaystyle F_{\text{3}}=\exists y\forall x(\neg \forall yP(f(x),y)))}
≡ ∃ y ∀ x ( ∃ x ¬ P ( f ( x ) , y ) ) ) {\displaystyle \equiv \exists y\forall x(\exists x\neg P(f(x),y)))}
BPF: ≡ ∃ y ∀ x ¬ P ( f ( x ) , y ) {\displaystyle {\text{BPF: }}\equiv \exists y\forall x\neg P(f(x),y)}
Skolemform: ≈ ∀ y ¬ P ( f ( x ) , g ( x ) ) ( y ersetzt durch g(x) ) {\displaystyle {\text{Skolemform: }}\approx \forall y\neg P(f(x),g(x)){\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}({\text{y ersetzt durch g(x)}})}
![{\displaystyle {\mathcal {A}}(F_{\text{1}})=min_{d\in \mathbb {N} }{\text{ }}\lbrace max_{e\in \mathbb {N} }{\text{ }}\lbrace {\mathrm {\mathcal {A}} _{[x|d,y|e]}}{\text{ }}P(x,y)\rbrace \rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1ffd22174e16c7fb02f8e3bff2513436953531)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}(F_{\text{2}})=max_{d\in \mathbb {N} }{\text{ }}\lbrace min_{e\in \mathbb {N} }{\text{ }}\lbrace {\mathrm {\mathcal {A}} _{[x|d,y|e]}}{\text{ }}P(x,y)\rbrace \rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab26da5eee6a4b13026b92758fbdc75e9b8e9ec)
