Berechnung der Ströme und Spannungen bei der Ladung bzw. Entladung des Kondensators


Bezeichnungen ( siehe erstes Bild): ist die Eingangsspannung (die beim Ladevorgang konstant und größer als Null, beim Entladevorgang immer gleich Null ist). ist die Spannung über dem Widerstand , und ist die momentane Spannung über dem Kondensator und die momentane Stromstärke, die überall im Kreis dieselbe ist. Das aus der Zeichnung wird im Folgenden durchgängig durch ersetzt, damit der Bezug zum Kondensator deutlich bleibt. Außerdem wird stillschweigend vorausgesetzt, das in der Zeichnung der Uhrzeigersinn die positive Stromflussrichtung ist). Die Lösung findet in drei Schritten statt:

1) Herleitung von allgemein,
2) Herleitung von allgemein,

    Anpassung von und an
3a) den Ladevorgang,
3b) den Entladevorgang.


1) Herleitung von allgemein
Nach der Kirchhoffschen Maschenregel gilt

 
 
 (Gl. 1)
 

Aus der Definition der Kapazität , wobei Q die momentane Ladung des Kondensators ist, folgt . Außerdem gilt nach dem Ohmschen Gesetz

Damit wird aus (1):

Die Gleichung wird nach der Zeit abgeleitet, wobei zu beachten ist, dass konstant, also   ist.

Mit (die Änderung der Ladung ist das Produkt aus Stromstärke und Zeitintervall) erhält man:

Das lässt sich gegen kürzen und zum Schluss noch durch teilen:

 
 
 (Gl. 2)
 

Das ist eine homogene, lineare gewöhnliche Differentialgleichung (DGL) mit konstanten Koeffizienten, welche durch die Exponentialfunktion

 
 
 (Gl. 3)
 

gelöst wird. Darin sind die Konstanten und noch unbestimmt. ist eine für die Schaltung typische Größe und kann gleich berechnet werden, kann erst später bestimmt werden, weil es von den Anfangsbedingungen abhängt, die für den Lade- und Entladevorgang unterschiedlich sind.


Bestimmung von

(Gl. 3) wird nach der Zeit abgeleitet: und zusammen mit aus (Gl. 3) in (GL. 2) eingesetzt:

Weil und beide ungleich Null sind, kann man gegen kürzen:

und erhält

Das wird in (Gl. 3) eingesetzt und ergibt die allgemeine Lösung der Diffentialgleichung (Gl. 2):

 
 
 (Gl.4)
 

Das ist die allgemeine Gleichung für den Stromverlauf. Der Parameter A wird später aus den jeweiligen Anfangsbedingungen für den Lade- bzw. Entlade-Vorgang bestimmt.


2) Herleitung von allgemein
Nach dem Ohmschen Gesetz ist und mit (Gl. 4) ergibt sich daraus

 
 
 (Gl. 5)
 

Nach (Gl. 1) ist Setzt man hier das ein, erhält man:

 
 
 (Gl. 6)
 

Das ist die allgemeine Gleichung für den Spannungsverlauf am Kondensator.


3 a) Ladevorgang
Der Kondensator ist anfangs völlig entladen, Nach (Gl. 1) ist

Aus (Gl. 5) gewinnt man so

und damit

wird erst in (Gl. 4) eingesetzt

und man erhält die Gleichung für den Stromverlauf bei dem Ladevorgang.

Zum Zweiten wird auch in (Gl. 6) eingesetzt

wo man noch gegen kürzt und vorklammert und so die Gleichung für den Spannungsverlauf am Kondensator beim Ladevorgang erhält:


3 a) Entladung

Der Kondensator ist zuerst auf eine Anfangsspannung aufgeladen, d. h. und zum Zeitpunkt fällt die Eingangsspannung auf Null. Nach (Gl. 1) ist jetzt also

Mit und nach dem ohmschen Gesetz ist

Andererseits ist nach (Gl. 4):

und aus den beiden letzten Gleichungen folgt

Dies setzt man in (Gl. 4) ein und erhält die Gleichung für den Stromverlauf bei der Entladung:

Das negative Vorzeichen rührt daher, dass schon zu Anfang dieser Herleitung der Uhrzeigersinn als die positive Stromflussrichtung voraus gesetzt wurde. Bei der Entladung fließt der Strom aber gegen den Uhrzeigersinn, also in negative Richtung.

wird auch in (Gl. 6) eingesetzt, wobei zu beachten ist) und man erhält die Gleichung für den Spannungsverlauf am Kondensator bei der Entladung: