Benutzer:Algebraiker/Affiner Klassifikationssatz von Arnold

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Der affine Klassifikationssatz von Arnold ist ein mathematisches Resultat aus dem Teilgebiet Geometrische Relationenalgebra und geht auf den deutschen Mathematiker Hans-Joachim Arnold zurück.

Die Bedeutung dieses Klassifikationstheorems liegt darin, dass es Arnold mit den affinen Relativen im Jahr 1974 gelingt, eine einheitliche, eindeutige und algebraische Kennzeichnung aller schwach affinen Geometrien und affinen Geometrien herzustellen, insbesondere auch zu den nicht desaguesschen affinen Ebenen, bei denen Koordinatenbereiche oder andere Artefakte aus der Geometrischen Algebra zur synonymen Beschreibung nicht herangezogen werden können.

Ein weiterer Vorteil der relationenalgebraischen Sprechweise liegt in ihrer „konstruktiven Erweiterbarkeit“: Ohne die gewählte Sprache der Relationen-Algebra verlassen zu müssen, ist dieser Kalkül geeignet, für geometrische Zusatzaxiome (Schließungssätze) äquivalente einfache und gut handhabbare Rechenregeln anzugeben.

Als eine wichtige Regel erweist sich die zweistufige Homogenitätsregel; sie ist auf der geometrischen Seite äquivalent zur Konstruierbarkeit parallelähnlicher Dreiecke. Legt man darüber hinaus dreistellige affine Relative zugrunde, so erweisen sich diese ebenfalls als synonym zu den affinen Geometrien – die Hinzunahme der dreistufigen Homogenitätsregel findet dann auf der geometrischen Seite ihre Entsprechung in der Gültigkeit des großen affinen Satzes von Desargues.

Begrifflichkeit

Man spricht von einem zweistelligen affinen Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$, wenn gegeben sind:

• eine Menge von Punkten ${\mathfrak {P}}=\{A,B,C\dots \}\neq \emptyset ,$
• eine Menge ${\mathcal {R}}=\{{\mathfrak {A,B,C,}}\dots \}\subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {P}})\setminus \left\{\emptyset \right\}$ von 2 -stelligen Relationen auf der Grundmenge ${\mathfrak {P}},$

und wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. Scharf einfache Transitivität: $\bigwedge _{A,B\in {\mathfrak {P}}}\bigvee _{{\mathfrak {D}}\in {\mathcal {R}}}^{1}:A{\mathfrak {D}}B.$ Es wird für alle $A,B\in {\mathfrak {P}}$ und alle ${\mathfrak {D}}\in {\mathcal {R}}$ gesetzt: ${\mathfrak {D}}=AB\;:\Leftrightarrow \;A{\mathfrak {D}}B.$
2. Abgeschlossenheit bezüglich Gleichheitsrelation: $\bigwedge _{A,B,C\in {\mathfrak {P}}}:A(BB)C\Leftrightarrow A=C.$ Gleichbedeutend ist dies damit, dass für die Gleichheitsrelation ${\mathfrak {E}}$ auf ${\mathfrak {P}}$ gilt: ${\mathfrak {E}}\in {\mathcal {R}}$.
3. Linkstotalität der Relationen:$\bigwedge _{A\in {\mathfrak {P}}}\bigwedge _{{\mathfrak {D}}\in {\mathcal {R}}}\bigvee _{B\in {\mathfrak {P}}}:A{\mathfrak {D}}B.$
4. Symmetrie der Relationen: $\bigwedge _{{\mathfrak {A}}\in {\mathcal {R}}}:{\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}^{-1}.$
5. Alternierende Relationen: $\bigwedge _{{\mathfrak {A}}\in {\mathcal {R}}}:{\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {A}}\cup {\mathfrak {E}}.$
6. Homogenitätsregel (H2) $\bigwedge _{A,B,C\in {\mathfrak {P}}}:AB\subset AC\circ CB.$

Man spricht von einer affinen Geometrie $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )$, wenn gegeben sind:

• eine Menge von Punkten ${\mathfrak {P}}=\{A,B,C,\dots \}\neq \emptyset ,$
• eine Menge von Geraden ${\mathfrak {G}}=\{g,h,k,\dots \}\subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}),$
• die mengentheoretische Elementbeziehung $\in$ als Inzidenzrelation,
• eine Parallelenrelation $\parallel \subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {G}}),$

und wenn die folgenden Eigenschaften gelten:

1. Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden: $\bigwedge _{A,B\in {\mathfrak {P}}}:A\neq B\Rightarrow \bigvee _{g\in {\mathfrak {G}}}^{1}:A,B\in g.$ Man setzt für diese zu $A\neq B$ eindeutig bestimmte Verbindungsgerade $g$ auch $g_{AB}$.
2. Geraden sind Verbindungsgeraden: $\bigwedge _{g\in {\mathfrak {G}}}\bigvee _{A,B\in {\mathfrak {P}}}:A\neq B\wedge A\in g\wedge B\in g.$
3. Die Parallelenrelation $\parallel$ ist eine Äquivalenzrelation.
4. Euklidisches Parallelenpostulat: $\bigwedge _{A\in {\mathfrak {P}}}\bigwedge _{g\in {\mathfrak {G}}}\bigvee _{h\in {\mathfrak {G}}}^{1}:A\in g\wedge h\parallel g.$
5. Konstruierbarkeit parallelähnlicher Dreiecke:

$\bigwedge _{A,B,C,A',B'\in {\mathfrak {P}}}:A\neq B\neq C\neq A\wedge A'\neq B'\wedge g_{A,B}\parallel g_{A',B'}\Rightarrow \bigvee _{C'\in {\mathfrak {P}}}:g_{A,C}\parallel g_{A',C'}\wedge g_{C,B}\parallel g_{C',B'}.$

Ein zweistelliges, einfach graphisches und homogenes Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$, also ein Relativ, dessen Relationenmenge scharf einfach transitiv, abgeschlossen gegenüber Gleichheitsrelation und Inversion, linkstotal und homogen ist, definiert mit

${\begin{cases}{\mathcal {R}}^{(3)}\;:=\;\{ABC\mid A,B,C\in {\mathfrak {P}}\}\\(A',B',C')\in ABC\;:\Leftrightarrow \;A'(AB)B'\wedge B'(BC)C'\wedge A'(AC)C'\end{cases}}$

ein einfach graphisches dreistelliges Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(3)})$.

Mit der Definition $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(3)})\pi :=({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(3)}{\mathcal {F}}_{2})$ unter Anwendung eines Projektionsfunktors ${\mathcal {F}}_{2}$ auf jeweils 2 Stellen der dreistelligen Relationen wird ein synonymer Zusammenhang hergestellt einerseits zwischen der Klasse der zweistelligen einfach graphischen Relative, die überdies homogen sind und andererseits der Klasse der dreistelligen einfach graphischen Relative. Diese werden affin genant, wenn ihre 2stellige Projektion es ist.

Formulierung des Satzes

Aus einem affinen Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ entsteht durch Anwendung des folgenden Verfahrens $\gamma$ eine affine Geometrie $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )=({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})\gamma :$

${\mathfrak {G}}:=\{A({\mathfrak {B}}\cup {\mathfrak {E}})\mid A\in {\mathfrak {P}}\wedge {\mathfrak {B}}\in {\mathcal {R}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\}\}$

$A({\mathfrak {B}}\cup {\mathfrak {E}})\parallel A'({\mathfrak {B}}'\cup {\mathfrak {E}}):\Leftrightarrow {\mathfrak {B}}={\mathfrak {B}}'.$

Aus einer affinen Geometrie $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )$ entsteht durch Anwendung des Verfahrens $\alpha$ ein affines Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})=({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )\alpha :$

${\mathcal {R}}:=\{\left\langle g\right\rangle \subset {\mathfrak {P}}^{2}\mid g\in {\mathfrak {G}}\}\cup \{{\mathfrak {E}}\}$

$A\left\langle g\right\rangle B:\Leftrightarrow A\neq B\wedge g_{A,B}\parallel g.$

Für alle affinen Relative $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ und alle affinen Geometrien $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )$ gilt:

$({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )\alpha \gamma \cong ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel ).$

$({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})\gamma \alpha \cong ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}).$

Affine Relative und affine Geometrien sind synonym zueinander, der (H2)-Homogenitätsregel auf der algebraischen Seite entspricht die Konstruierbarkeit parallelähnlicher Dreiecke auf der geometrischen Seite.

Die Klasse der dreistelligen affinen Relative erweist sich ebenfalls als synonym zur Klasse der affinen Geometrien.

Mit der Anwendung eines Projektionsfunktors ${\mathcal {F}}_{1,4}$ auf die Stellen 1 und 4 im Verkettungsprodukt $\boxminus$ zweier dreistelliger Relationen und Verwendung eines erweiterten Relationenproduktes $\oslash$ gemäß $AXY\oslash XYB:=(AXY\boxminus XYB){\mathcal {F}}_{1,4}:=\{(C_{1},C_{2},C_{3},C_{4})\mid (C_{1},C_{2},C_{3})\in AXY\;\wedge \;(C_{2},C_{3},C_{4})\in XYB\}{\mathcal {F}}_{1,4}$

gilt die dreistufige affine (H3)-Homogenitätsregel

$(H_{3})\bigwedge _{A,B,X,Y\in {\mathfrak {P}}}:\;AB\subset AXY\oslash XYB$

genau dann, wenn geometrischerseits der große affine Satz von Desagues als Zusatzaxiom gültig ist.

Literatur

• H.-J. Arnold, W. Benz, H. Wefelscheid (Hrsg.): Beiträge zur Geometrischen Algebra. Proceedings des Symposiums über Geometrische Algebra vom 29. März bis 3. April 1976 in Duisburg. Basel: Birkhäuser 1977, ISBN 978-3-0348-5573-0. doi:10.1007/978-3-0348-5573-0.
• H.-J. Arnold, W. Junkers, W. Kühnel, G. Törner, H. Wefelscheid (Hrsg.): Beiträge zur Geometrischen Algebra und ihren Anwendungen. Proceedings des 2. Duisburger Symposiums über Geometrische Algebra und ihre Anwendungen. Universität Duisburg 1987.

Einzelnachweise

Kategorie:Satz (Mathematik)