Hauptmenü öffnen

Wikipedia β

Archimedisches Prinzip

physikalisches Gesetz

Das archimedische Prinzip wurde vor über 2000 Jahren von dem griechischen Gelehrten Archimedes formuliert. Es lautet:

Der statische Auftrieb eines Körpers in einem Medium ist genauso groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums.

Bild 1: schematisierter Auftrieb

Das archimedische Prinzip gilt in allen Fluiden, d. h. in Flüssigkeiten und Gasen. Schiffe verdrängen Wasser und erhalten dadurch Auftrieb. Da die mittlere Dichte eines Schiffes geringer als die Dichte von Wasser ist, schwimmt es an der Oberfläche. Auch Ballone und Luftschiffe machen sich diese Eigenschaft zunutze, um fliegen zu können. Dazu werden sie mit einem Gas befüllt, dessen Dichte geringer ist als die der umgebenden Luft. Diese Gase (z. B. Helium oder Wasserstoff) sind bei vielen Luftschiffen und Ballonen von Natur aus weniger dicht als Luft; in Heißluftballons und Heißluft-Luftschiffen wird die Luftfüllung mit Hilfe von Gasbrennern erwärmt, wodurch ihre Dichte abnimmt.

Inhaltsverzeichnis

Erklärung des PhänomensBearbeiten

 
Bild 2: Die Kraft (b) an der Unterseite (der Druck im Wasser) ist größer als die Kraft (a) an der Oberseite. Die seitlichen Kräfte (c und d) sind für den Auftrieb ohne Bedeutung
 
Bild 3: Die Kraft, die auf einen Punkt wirkt (in Flüssigkeiten oder Gasen) ist in alle Richtungen gleich groß.

Die Ursache für die Auftriebskraft liegt darin, dass der hydrostatische Druck an der Oberseite bzw. der Unterseite eines eingetauchten Körpers unterschiedlich ist. Aus diesem Druckunterschied resultieren unterschiedlich große Kräfte auf Unter- und Oberseite des eingetauchten Körpers, auf die Unterseite wirkt eine größere Kraft als auf die weiter oben befindlichen Teile der Oberfläche.

BeispielrechnungBearbeiten

Im Beispiel (Bild 1) gehen wir von einem Würfel mit 20 cm Kantenlänge aus. Er ist 10 cm tief unter die Wasseroberfläche eingetaucht.

Berechnung über DruckunterschiedeBearbeiten

Der Druck, den 1 m Wassersäule erzeugt, beträgt  . An der Oberseite des Körpers mit   Wassersäule herrscht also  , an der Unterseite bei   Wassersäule ergibt sich  . Der Luftdruck addiert sich zu beiden Werten und muss in der weiteren Rechnung nicht berücksichtigt werden.

Auf die untere Fläche (Bild 1)   wirkt somit die Kraft

 

nach oben. Auf die obere Fläche   wirkt dagegen die Kraft

 

nach unten. Die Differenz der beiden Kräfte, also der Auftrieb dieses Körpers berechnet sich also zu

 .

Berechnung mit Hilfe des archimedischen PrinzipsBearbeiten

Nach Archimedes gilt Folgendes:  . Bezogen auf das Beispiel (Bild 1) können wir schreiben:

 

Dabei wurde die Dichte   des Fluids, die Beziehung   zur Masse   und zum Volumen  , und der Ortsfaktor   verwendet. Wir sehen, dass beide Methoden zum selben Ergebnis führen.

GedankenexperimentBearbeiten

Folgendes Gedankenexperiment veranschaulicht die Richtigkeit des archimedischen Prinzips. Dazu stelle man sich ein ruhendes Fluid vor. Innerhalb des Fluids sei ein beliebiger Teil des Fluids markiert. Die Markierung kann man sich wie eine Art Wasserballon in einem Behälter Wasser vorstellen, nur dass die Haut dieses Wasserballons unendlich dünn und massenlos ist und eine beliebige Form annehmen kann.

Man stellt nun fest, dass der so markierte Teil des Fluids innerhalb des Fluids weder steigt noch sinkt, da sich das gesamte Fluid in Ruhe befindet – der markierte Teil schwebt sozusagen schwerelos im ihn umgebenden Fluid. Das bedeutet, dass die Auftriebskraft des markierten Fluidteils exakt sein Gewicht kompensiert. Daraus kann gefolgert werden, dass die Auftriebskraft des markierten Fluidteils genau seiner Gewichtskraft entspricht. Da die Markierung innerhalb des Fluids beliebig ist, ist somit die Richtigkeit des archimedischen Prinzips für homogene Fluide gezeigt.

Steigen, sinken, schwebenBearbeiten

Damit der Körper die in der Grafik beschriebene Position beibehält, muss seine Gewichtskraft gleich der Gewichtskraft des verdrängten Wassers (78,48 N) sein. Dann heben sich alle auf den Körper wirkenden Kräfte auf und dieser kommt zum Stillstand. Nach der Formel   muss der Körper 8.000 g schwer sein. Des Weiteren hätte er nach   eine Dichte von 1 kg/dm3, also die Dichte von Wasser.

Wir können also folgende Regel formulieren:

  • Wenn   ist, dann schwebt der Körper.
  • Wenn   ist, dann steigt der Körper.
  • Wenn   ist, dann sinkt der Körper.

Die Körper steigen oder sinken, bis der Gewichtskraft eine betragsmäßig gleich große Kraft entgegenwirkt. Dies kann beim Sinken eine sich ändernde Dichte des Fluids oder auch der Boden des Bechers bewirken. Ein Körper steigt oft so lange, bis er die Oberfläche durchbricht. In diesem Fall gilt:  .

Entdeckung des archimedischen PrinzipsBearbeiten

 
Experiment zum Beweis des archimedischen Prinzips, Illustration von 1547

Archimedes war von König Hieron II. von Syrakus beauftragt worden, herauszufinden, ob dessen Krone wie bestellt aus reinem Gold wäre oder ob das Material durch billigeres Metall gestreckt worden sei. Diese Aufgabe stellte Archimedes zunächst vor Probleme, da die Krone natürlich nicht zerstört werden durfte.

Der Überlieferung nach hatte Archimedes schließlich den rettenden Einfall, als er zum Baden in eine bis zum Rand gefüllte Wanne stieg und dabei das Wasser überlief. Er erkannte, dass die Menge Wasser, die übergelaufen war, genau seinem Körpervolumen entsprach. Angeblich lief er dann, nackt wie er war, durch die Straßen und rief Heureka!“ („Ich habe es gefunden“).

Um die gestellte Aufgabe zu lösen, tauchte er einmal die Krone und dann einen Goldbarren, der genauso viel wog wie die Krone, in einen bis zum Rand gefüllten Wasserbehälter und maß die Menge des überlaufenden Wassers. Da die Krone mehr Wasser verdrängte als der Goldbarren und somit bei gleichem Gewicht voluminöser war, musste sie aus einem Material geringerer Dichte, also nicht aus reinem Gold, gefertigt worden sein.

Diese Geschichte wurde vom römischen Architekten Vitruv überliefert.

Obwohl der Legende nach auf dieser Geschichte die Entdeckung des archimedischen Prinzips beruht, würde der Versuch von Archimedes auch mit jeder anderen Flüssigkeit funktionieren. Das Interessanteste am archimedischen Prinzip, nämlich die Entstehung des Auftriebs und damit die Berechnung der Dichte des Fluids, spielt in dieser Entdeckungsgeschichte gar keine Rolle.

Physikalische HerleitungBearbeiten

Ein Körper wird vom Druck   belastet, welchen das umgebende Medium (Flüssigkeit oder Gas) auf seine Oberfläche ausübt. Ein betrachtetes Teilstück der Oberfläche mit dem Inhalt   sei so klein gewählt, dass es praktisch eben ist und dass in seinem Bereich der Druck   konstant ist. Der Einheitsvektor der äußeren Flächennormale der Teilfläche sei  . Das Medium übt dann die Kraft

 

auf das Teilstück aus. Eine Summierung dieser Kräfte über alle Teilstücke liefert die gesamte Auftriebskraft.

 
Zur Herleitung des archimedischen Prinzips
 
Tragkraft eines mit Wasserstoff gefüllten Gummiballons

Das archimedische Prinzip gilt nur genau dann streng, wenn das verdrängte Medium inkompressibel (nicht zusammendrückbar) ist. Für Flüssigkeiten wie z. B. Wasser ist dies gut erfüllt, daher soll im Folgenden von einem Körper ausgegangen werden, der in eine Flüssigkeit der (genau genommen von der Temperatur abhängigen) Dichte   eintaucht.

In der Flüssigkeit lastet auf einer waagerechten Fläche der Größe   in der Tiefe   das Gewicht einer Flüssigkeitssäule der Masse  . Der Druck in dieser Tiefe ist deshalb

 .

Ein entsprechender Druckverlauf gilt bei nicht zu großen Höhendifferenzen   auch in der Luft oder anderen Gasen (d. h. die Kompressibilität fällt nicht ins Gewicht; bei großen Höhenunterschieden müsste eine veränderliche Dichte berücksichtigt werden). Deshalb gelten die folgenden Überlegungen auch für realistisch große Luftschiffe oder Ballone.

Für einfache geometrische Formen kann man die Gültigkeit des archimedischen Prinzips mit einfachen Mitteln von Hand nachrechnen. Für einen Quader mit Grundfläche   und Höhe  , der senkrecht in die Flüssigkeit eintaucht, erhält man beispielsweise:

  • Kraft auf die obere Grundfläche mit der Flächennormalen  :
     
  • Kraft auf die untere Grundfläche mit der Flächennormalen  :
     
  • Kräfte auf die Seitenflächen heben sich stets gegenseitig auf.
  • Die gesamte Auftriebskraft ist also
     

Dabei ist   das verdrängte Volumen, also   die verdrängte Masse und   ihre Gewichtskraft. Das archimedische Prinzip ist also erfüllt. Das negative Vorzeichen entfällt, wenn die  -Achse nach oben gewählt wird.

Für einen beliebig geformten Körper   erhält man die gesamte Auftriebskraft durch das Oberflächenintegral

 

Mit dem Integralsatz

 

und   folgt daraus

 .

WeblinksBearbeiten