(73,9,1)-Blockplan
Der (73,9,1)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 73 × 73 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 9 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 1 Eins in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 73, k = 9, λ = 1), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung Bearbeiten
Dieser symmetrische 2-(73,9,1)-Blockplan wird Projektive Ebene oder Desarguessche Ebene der Ordnung 8 genannt.
Eigenschaften Bearbeiten
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 73, k = 9, λ = 1 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 73 Blöcken und 73 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 9 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 1 Punkt.
- Jeder Punkt liegt auf genau 9 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 1 Block verbunden.
Existenz und Charakterisierung Bearbeiten
Es existiert (bis auf Isomorphie) genau ein 2-(73,9,1) - Blockplan[1]. Er ist selbstdual und hat die Signatur 73·504. Er enthält 32704 Ovale der Ordnung 10.
Liste der Blöcke Bearbeiten
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 11 12 13 14 15 16 17 1 18 19 20 21 22 23 24 25 1 26 27 28 29 30 31 32 33 1 34 35 36 37 38 39 40 41 1 42 43 44 45 46 47 48 49 1 50 51 52 53 54 55 56 57 1 58 59 60 61 62 63 64 65 1 66 67 68 69 70 71 72 73 2 10 18 26 34 42 50 58 66 2 11 19 27 35 43 51 59 67 2 12 20 28 36 44 52 60 68 2 13 21 29 37 45 53 61 69 2 14 22 30 38 46 54 62 70 2 15 23 31 39 47 55 63 71 2 16 24 32 40 48 56 64 72 2 17 25 33 41 49 57 65 73 3 10 19 28 37 46 55 64 73 3 11 18 30 41 44 56 63 69 3 12 22 26 39 43 53 65 72 3 13 25 31 34 48 52 62 67 3 14 20 27 40 42 57 61 71 3 15 24 29 36 49 50 59 70 3 16 23 33 38 45 51 58 68 3 17 21 32 35 47 54 60 66 4 10 20 29 38 47 56 65 67 4 11 22 33 36 48 55 61 66 4 12 18 31 35 45 57 64 70 4 13 23 26 40 44 54 59 73 4 14 19 32 34 49 53 63 68 4 15 21 28 41 42 51 62 72 4 16 25 30 37 43 50 60 71 4 17 24 27 39 46 52 58 69 5 10 21 30 39 48 57 59 68 5 11 25 28 40 47 53 58 70 5 12 23 27 37 49 56 62 66 5 13 18 32 36 46 51 65 71 5 14 24 26 41 45 55 60 67 5 15 20 33 34 43 54 64 69 5 16 22 29 35 42 52 63 73 5 17 19 31 38 44 50 61 72 6 10 22 31 40 49 51 60 69 6 11 20 32 39 45 50 62 73 6 12 19 29 41 48 54 58 71 6 13 24 28 38 43 57 63 66 6 14 18 33 37 47 52 59 72 6 15 25 26 35 46 56 61 68 6 16 21 27 34 44 55 65 70 6 17 23 30 36 42 53 64 67 7 10 23 32 41 43 52 61 70 7 11 24 31 37 42 54 65 68 7 12 21 33 40 46 50 63 67 7 13 20 30 35 49 55 58 72 7 14 25 29 39 44 51 64 66 7 15 18 27 38 48 53 60 73 7 16 19 26 36 47 57 62 69 7 17 22 28 34 45 56 59 71 8 10 24 33 35 44 53 62 71 8 11 23 29 34 46 57 60 72 8 12 25 32 38 42 55 59 69 8 13 22 27 41 47 50 64 68 8 14 21 31 36 43 56 58 73 8 15 19 30 40 45 52 65 66 8 16 18 28 39 49 54 61 67 8 17 20 26 37 48 51 63 70 9 10 25 27 36 45 54 63 72 9 11 21 26 38 49 52 64 71 9 12 24 30 34 47 51 61 73 9 13 19 33 39 42 56 60 70 9 14 23 28 35 48 50 65 69 9 15 22 32 37 44 57 58 67 9 16 20 31 41 46 53 59 66 9 17 18 29 40 43 55 62 68
Zyklische Darstellung Bearbeiten
Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
1 2 4 8 16 32 37 55 64
Orthogonale Lateinische Quadrate (MOLS) Bearbeiten
Diese Projektive Ebene der Ordnung 8 ist äquivalent mit diesen 7 MOLS der Ordnung 8:
Oval Bearbeiten
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:
1 2 10 19 29 39 49 52 62 72
Literatur Bearbeiten
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise Bearbeiten
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.