Mathematische Definition
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Eine zyklische Anordnung auf einer Menge
X
{\displaystyle X}
Relation
R
⊂
X
3
{\displaystyle R\subset X^{3}}
Tripeln von Elementen aus
X
{\displaystyle X}
Wenn
[
a
,
b
,
c
]
{\displaystyle \left[a,b,c\right]}
[
b
,
c
,
a
]
{\displaystyle \left[b,c,a\right]}
Wenn
[
a
,
b
,
c
]
{\displaystyle \left[a,b,c\right]}
[
b
,
a
,
c
]
{\displaystyle \left[b,a,c\right]}
Wenn
[
a
,
b
,
c
]
{\displaystyle \left[a,b,c\right]}
[
a
,
c
,
d
]
{\displaystyle \left[a,c,d\right]}
[
a
,
b
,
d
]
{\displaystyle \left[a,b,d\right]}
Wenn
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
[
a
,
b
,
c
]
{\displaystyle \left[a,b,c\right]}
[
c
,
b
,
a
]
{\displaystyle \left[c,b,a\right]}
Zusammenhang mit linearen Ordnungen
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Wenn
X
{\displaystyle X}
linear angeordnet ist, dann hat man auch eine zyklische Anordnung durch
[
a
,
b
,
c
]
⟺
a
<
b
<
c
oder
b
<
c
<
a
oder
c
<
a
<
b
{\displaystyle \left[a,b,c\right]\Longleftrightarrow a<b<c{\mbox{ oder }}b<c<a{\mbox{ oder }}c<a<b}
X
=
{
x
,
y
,
z
}
{\displaystyle X=\left\{x,y,z\right\}}
X
∖
{
y
}
{\displaystyle X\setminus \left\{y\right\}}
<
1
{\displaystyle <_{1}}
X
∖
{
z
}
{\displaystyle X\setminus \left\{z\right\}}
<
2
{\displaystyle <_{2}}
X
∖
{
x
}
{\displaystyle X\setminus \left\{x\right\}}
<
3
{\displaystyle <_{3}}
Für eine zyklische Anordnung kann man zu jedem
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
X
∖
{
x
}
{\displaystyle X\setminus \left\{x\right\}}
a
<
x
b
⟺
[
x
,
a
,
b
]
{\displaystyle a<_{x}b\Longleftrightarrow \left[x,a,b\right]}
Für zwei Elemente
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
X
∖
{
x
,
y
}
{\displaystyle X\setminus \left\{x,y\right\}}
a
<
x
y
<
x
b
⇔
b
<
y
x
<
y
a
{\displaystyle a<_{x}y<_{x}b\Leftrightarrow b<_{y}x<_{y}a}
E. Huntington : A Set of Independent Postulates for Cyclic Order , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2 (11): 630–631, 1916. 
![{\displaystyle \left[a,b,c\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd3d9b9b0456a7a823ef305ac1fe5d1b41a8b0f)
![{\displaystyle \left[b,c,a\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a7c7aac4e8f7ad011571b380f49503959d60874)
![{\displaystyle \left[b,a,c\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0017ca9c62094311545b7a900becac82c7a9e7c9)
![{\displaystyle \left[a,c,d\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e597821ed54f7c75e2c38d29ee6c170117f1b7b9)
![{\displaystyle \left[a,b,d\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e975396ee41126e28083d784e196ab27f69b99)
![{\displaystyle \left[c,b,a\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593041ed12eaa6604444ec3308f55663931b7482)
![{\displaystyle \left[a,b,c\right]\Longleftrightarrow a<b<c{\mbox{ oder }}b<c<a{\mbox{ oder }}c<a<b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c866d16682f21e8c05f23f085d322172fc489e)
![{\displaystyle a<_{x}b\Longleftrightarrow \left[x,a,b\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4851a8fbaa5f3d61096a97087220b4c9147d8e6)
