Weil-Algebra

In der Mathematik ist die Weil-Algebra (ursprünglich von Henri Cartan eingeführt und nach André Weil benannt) ein Hilfsmittel bei der Berechnung charakteristischer Klassen.

Definition

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra. Die Weil-Algebra ist die graduierte Algebra

$W^{n}({\mathfrak {g}})=\bigoplus _{2p+q=n}S^{p}({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \Lambda ^{q}({\mathfrak {g}}^{*})$,

wobei ${\mathfrak {g}}^{*}$ der duale Vektorraum, $S^{*}({\mathfrak {g}}^{*})$ die Polynomalgebra und $\Lambda ^{*}({\mathfrak {g}}^{*})$ die Graßmann-Algebra ist.

Explizite Definition des Differentials

Sei $e_{1},\ldots ,e_{m}$ eine Basis von ${\mathfrak {g}}$. Seien $c_{ij}^{k}$ die Strukturkonstanten, also $\left[e_{i},e_{j}\right]=c_{ij}^{k}e_{k}$. Die Weil-Algebra $W^{*}({\mathfrak {g}})$ hat Erzeuger $\theta _{1},\ldots ,\theta _{m}$ vom Grad 1 und $\mu _{1},\ldots ,\mu _{m}$ vom Grad 2. Dann ist das Differential definiert durch

$d(\theta _{i})=\mu _{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{j,k}c_{jk}^{i}\theta _{j}\theta _{k}$

$d(\mu _{i})=-\sum _{jk}c_{jk}^{i}\theta _{j}\mu _{k}$.

Die Kohomologie von $(W({\mathfrak {g}}),d)$ ist trivial (außer in Grad 0).

Konstruktion charakteristischer Klassen

Ein Zusammenhang $\omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})$ auf einem $G$-Prinzipalbündel $\pi \colon P\to M$ induziert einen Homomorphismus

$f_{\omega }\colon \Omega ^{1}({\mathfrak {g}})\to \Omega ^{1}(P,\mathbb {R} )$,

der sich zu einem Homomorphismus differentieller graduierter Algebren

$f_{\omega }\colon W({\mathfrak {g}})\to \Omega ^{*}(P,\mathbb {R} )$

fortsetzen lässt. Die $G$-invarianten Elemente von $W^{2k}({\mathfrak {g}})$ werden auf (das Urbild von) $\Omega ^{2k}(M,\mathbb {R} )$ abgebildet und definieren charakteristische Klassen in $H_{dR}^{2k}(M;\mathbb {R} )$. (Diese Konstruktion wird als Chern-Weil-Homomorphismus bezeichnet.)

Relative Weil-Algebra

Sei $G$ eine Lie-Gruppe und $K\subset G$ eine maximal kompakte Untergruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {k}}\subset {\mathfrak {g}}$. Die relative Weil-Algebra ist definiert als

$W(G,K)=(S({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \Lambda ({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {k}}))^{K}$.

Sei $BG$ der klassifizierende Raum und $EG\to BG$ das universelle Bündel der Lie-Gruppe $G$. Man hat kanonische Isomorphismen der Kohomologiegruppen

$H^{*}(W(G,K))=H^{*}(EG/K)=H^{*}(BG)=I(K)$

mit dem Ring $I(K)$ der invarianten Polynome.

Die relative Weil-Algebra wird bei der Berechnung sekundärer charakteristischer Klassen von lokal symmetrischen Räumen verwendet.

Literatur

• W. Greub, S. Halperin, R. Vanstone, "Connections, curvature, and cohomology. Volume III: Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces." Pure and Applied Mathematics, Vol. 47-III. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1976 (Chapter VI).
• H. Cartan, "Cohomologie réelle d'un espace fibré principal differentiable", Sem. H. Cartan 1949/50, Exp. 19–20 (1950).
• H. Cartan, "Notions d’algébre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés ou opère un groupe de Lie", Colloque de topologie (espaces fibrés), Bruxelles, (1950), pp. 15–27.
• J.L. Dupont, F.W. Kamber, "On a generalization of Cheeger–Chern–Simons classes" Illinois J. Math. 34 (1990), no. 2, 221–255.
• F.W. Kamber, Ph. Tondeur, "Foliated bundles and characteristic classes", Lecture Notes in Mathematics, 493, Springer (1975).
• F.W. Kamber, Ph. Tondeur, "Semi-simplicial Weil algebras and characteristic classes" Tôhoku Math. J. 30 (1978) pp. 373–422 (pdf).
• J.L. Dupont, F.W. Kamber, "Cheeger-Chern-Simons classes of transversally symmetric foliations: dependence relations and eta-invariants." Math. Ann. 295 (1993), no. 3, 449–468, doi:10.1007/BF01444896.

Weblinks

• Weil Algebra of a Lie Algebra (Encyclopedia of Mathematics)
• Weil Algebra (nLab)