Truncated-Wigner-Approximation

Werkzeug zur numerischen Simulation der Nichtgleichgewichts-Dynamik von Quanten-Vielteilchen

Die Truncated-Wigner-Approximation (englisch truncated Wigner approximation, TWA, dt. etwa „Näherung der trunkierten Wignerfunktion“) ist im Rahmen der Quantenfeldtheorie ein Werkzeug zur numerischen Simulation der Nichtgleichgewichtsdynamik von Quantenvielteilchensystemen. Es handelt sich um eine semiklassische Näherung, bei der die Quanteneigenschaften des Anfangszustandes voll berücksichtigt, Quanteneffekte in der zeitlichen Entwicklung des Systems jedoch vernachlässigt werden. In der Hochenergiephysik ist die Näherung auch als Klassische Statistische Feldtheorie bekannt.[1]

Obwohl die TWA in ihrer ursprünglichen Formulierung nur auf bosonische Vielteilchensysteme anwendbar ist, wurden auch Erweiterungen auf fermionische Systeme entwickelt.[2]

Verfahren Bearbeiten

Gegeben sei ein System bosonischer Teilchen mit einem Set von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren  , wobei der Index   eine beliebige orthonormale Zustandsbasis nummeriert. Das System werde beschrieben durch einen Hamiltonoperator   und der Anfangszustand sei gegeben durch die Dichtematrix  . Die Wigner-Weyl-Transformation eines Operators   sei definiert als

 

Hier wurde die Schreibweise   verwendet, wobei   ein kohärenter Zustand in Mode   ist. Weiterhin führen wir die initiale Wignerfunktion   als Wigner-Weyl-Transformierte von   ein. Dann lässt sich der Erwartungswert einer Observablen   zur Zeit   gemäß der TWA näherungsweise berechnen als:[3]

 

Dabei ist   die Lösung der klassischen Hamiltongleichungen

 

mit Anfangsbedingung  .

Der obige Ausdruck wird in der Praxis in der Regel mittels Monte-Carlo-Integration ausgewertet. D. h. es wird eine große Anzahl an klassischen Anfangsbedingungen   zufällig erzeugt, die gemäß der Wignerfunktion verteilt sind. Jede dieser Anfangsbedingungen wird dann mit der klassischen Bewegungsgleichung numerisch bis zur Zeit   entwickelt. Um Erwartungswerte von Observablen zu bestimmen, muss dann nur noch über alle Trajektorien gemittelt werden. Besonders geeignete Anfangszustände stellen dabei kohärente Zustände dar, da in diesem Falle die Wignerfunktion eine einfache Gaußsche Verteilung ist.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. François Gelis, Naoto Tanji: Formulation of the Schwinger mechanism in classical statistical field theory. In: Physical Review D. Band 87, Nr. 12, 2013, S. 125035.
  2. Shainen M. Davidson, Dries Sels, Anatoli Polkovnikov: Semiclassical approach to dynamics of interacting fermions. In: Annals of Physics. Band 384, 2017, S. 128–141.
  3. Anatoli Polkovnikov: Phase space representation of quantum dynamics. In: Annals of Physics. Band 325, Nr. 8, 2010, S. 1790–1852.