Trapezzahl

Eine Trapezzahl ist eine natürliche Zahl n, die als Summe von mindestens zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen darstellbar ist, wobei der kleinste Summand größer als 1 ist. Die als Plättchenmuster veranschaulichten Summanden lassen sich trapezförmig anordnen.

Ist der kleinste Summand gleich 1, so ist n eine Dreieckszahl.^[1]

Haupteigenschaften Bearbeiten

Jede ungerade natürliche Zahl $n=2k+1$ ist wegen $2k+1=k+(k+1)$ eine Trapezzahl $(k,n\in \mathbb {N} )$ .
Eine natürliche Zahl $n$ lässt sich genau dann als Trapezzahl darstellen, wenn $n$ keine Zweierpotenz ist.

(Einen ausführlichen Beweis dieses Satzes liefert Daniel Grieser.)^[2]

Besondere Eigenschaften Bearbeiten

Abb. 2: Plättchenmuster am Beispiel der Trapezzahl 22

Eine besondere Stellung nehmen diejenigen Trapezzahlen ein, bei denen der kleinste Summand mit der Gesamtanzahl der Summanden übereinstimmt. Als Plättchenmuster lässt sich jede von ihnen grafisch darstellen als Quadratzahl (grüne Umrandung) mit aufgesetzter Dreieckszahl. Hierbei wird der $n$ -ten Quadratzahl $n^{2}$ die $(n-1)$ te Dreieckszahl $D_{n-1}$ aufgesetzt (siehe Abb. 2).

Eigenschaft 1 Bearbeiten

Die so definierten besonderen Trapezzahlen bilden eine Teilfolge $\left(T_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ der Folge aller Trapezzahlen. Diese Teilfolge hat das Bildungsgesetz

T_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}

.

Beweis Bearbeiten

$T_{n}=n^{2}+{\frac {1}{2}}(n-1)n={\frac {3n^{2}-n}{2}}$

Beispiel Bearbeiten

In Abb. 2 ist $n=4$ und somit nach Einsetzen in die Bildungsgesetz-Formel $T_{4}=22$ .

Eigenschaft 2 Bearbeiten

Für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt: $T_{n}$ lässt bei Division durch $3$ denselben Rest wie $n$ .

Beweis Bearbeiten

$T_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}=3\cdot {\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {1}{2}}n=3\cdot {\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {3}{2}}n+n=3\cdot {\frac {1}{2}}(n-1)n+n=3\cdot D_{n-1}+n$ ^[3]