Systole (Mathematik)

In der Mathematik ist die Systole eine Invariante metrischer Räume.

Kürzeste nicht-zusammenziehbare Kurve auf einem Torus.

Definition

Sei $X$ ein kompakter metrischer Raum. Dann ist die Systole $\operatorname {sys} (X)$ von $X$ definiert als die Länge einer kürzesten nicht-zusammenziehbaren geschlossenen Kurve in $X$.

Hierbei ist eine geschlossene Kurve eine stetige Abbildung $\gamma \colon \left[0,1\right]\rightarrow X$ mit $\gamma (0)=\gamma (1)$. Sie heißt zusammenziehbar, wenn es einen Punkt $x\in X$ und eine Homotopie $H\colon \left[0,1\right]\times \left[0,1\right]\rightarrow X$ gibt mit $H(t,0)=\gamma (t)$ und $H(t,1)=x$ für alle $t\in \left[0,1\right]$. Sonst heißt sie nicht-zusammenziehbar. In einem kompakten metrischen Raum ist eine kürzeste nicht-zusammenziehbare Kurve immer eine geschlossene Geodäte. Ist $X$ einfach zusammenhängend, so ist jede geschlossene Kurve zusammenziehbar. In diesem Fall ist für jede Metrik $\operatorname {sys} (X)=\infty$.

Pu's Ungleichung

Für jede Riemannsche Metrik $g$ auf der projektiven Ebene $\mathbb {R} P^{2}$ gilt

$sys(\mathbb {R} P^{2},g)\leq {\frac {\pi }{2}}\operatorname {area} (g)$,

wobei $\operatorname {area} (\mathbb {R} P^{2},g)$ den Flächeninhalt und $\operatorname {sys} (\mathbb {R} P^{2},g)$ die Systole der Metrik bezeichnet.

Loewners Ungleichung

Für jede Riemannsche Metrik $g$ auf dem 2-dimensionalen Torus $T^{2}$ gilt die Ungleichung

$\operatorname {sys} (T^{2},g)\leq {\sqrt {{\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (T^{2},g)}}$,

wobei $\operatorname {area} (T^{2},g)$ den Flächeninhalt und $\operatorname {sys} (T^{2},g)$ die Systole der Metrik bezeichnet.

Gromows Ungleichung

Es gibt eine nur von $n$ abhängende universelle Konstante $C_{n}$, so dass für jede asphärische $n$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ die Ungleichung

$\operatorname {sys} (M,g)\leq (C_{n}\operatorname {Vol} (M,g))^{\frac {1}{n}}$

gilt.

Insbesondere hat man für Flächen die Ungleichung

$\operatorname {sys} (S,g)\leq {\frac {\pi }{2}}\operatorname {area} (S,g)$

mit Gleichheit nur für Flächen konstanter Krümmung. Für den Torus verbessert dieses Resultat Löwners Ungleichung.

Gromows Ungleichung gilt allgemeiner für wesentliche Mannigfaltigkeiten, d. h. falls die klassifizierende Abbildung $M\rightarrow B\pi _{1}M$ einen nichttrivialen Homomorphismus $H_{n}(M,\mathbb {Z} /2Z)\rightarrow H_{n}(B\pi _{1}M,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ induziert.

Weblinks

• Larry Guth: Metaphors in systolic geometry (PDF; 545 kB)
• Marcel Berger: What is ... a systole?, Notices of the AMS 55, 2008

Literatur

• Marcel Berger: Systoles et applications selon Gromov. Séminaire Bourbaki, Vol. 1992/93. Astérisque No. 216 (1993), Exp. No. 771, 5, 279–310.
• Michail Leonidowitsch Gromow: Systoles and intersystolic inequalities. Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992), 291–362, Sémin. Congr., 1, Soc. Math. France, Paris, 1996.
• Gromow: Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. With appendices by M. Katz, P. Pansu and S. Semmes. Translated from the French by Sean Michael Bates. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999. ISBN 0-8176-3898-9
• Berger: A panoramic view of Riemannian geometry. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-65317-1
• Michail G. Katz: Systolic geometry and topology. With an appendix by Jake P. Solomon. Mathematical Surveys and Monographs, 137. American Mathematical Society, Providence, RI, 2007. ISBN 978-0-8218-4177-8