Stammbaum (Gruppentheorie)

Gruppentheorie

In der algorithmischen Gruppentheorie versteht man unter einem Stammbaum einen gerichteten Baum zur Modellierung von sogenannten Vorgänger-Nachfolger-Relationen zwischen Isomorphieklassen endlicher p-Gruppen. Letztere sind endliche Gruppen mit einer Primzahlpotenz als Ordnung. Die Basis ist dabei eine feste Primzahl und der Exponent ist eine positive ganze Zahl. Die Knoten (auch Ecken oder Vertices genannt) des Stammbaums sind Isomorphieklassen endlicher -Gruppen. Die Kanten des Baums verbinden genau jene Paare von Knoten, die in der Vorgänger-Nachfolger-Beziehung stehen.

Eine endliche -Gruppe besitzt neben der Ordnung zwei weitere Invarianten, die Nilpotenzklasse (kurz Klasse) und die Koklasse . Es stellte sich heraus, dass gewisse Klassen von Stammbäumen, die sogenannten bereinigten oder gestutzten Koklassen-Bäume, deren unendlich viele Vertices eine gemeinsame Koklasse besitzen, ein sich periodisch wiederholendes endliches Muster aufweisen. Diese zwei entscheidenden Eigenschaften der Endlichkeit und Periodizität, die von M. du Sautoy[1] und unabhängig von B. Eick und C. R. Leedham-Green[2] bewiesen wurden, gestatten eine Charakterisierung sämtlicher Mitglieder des Baumes durch endlich viele parametrisierte Präsentationen. Folglich spielen Stammbäume eine fundamentale Rolle in der Klassifikation endlicher -Gruppen.

Mit Hilfe der Kerne und Ziele der Artinschen Verlagerungs-Homomorphismen können Stammbäume mit zusätzlicher Struktur ausgestattet werden, die neulich zu unerwarteten Erfolgen bei arithmetischen Anwendungen in der Klassenkörpertheorie führte, insbesondere bei der Bestimmung der exakten Länge von Klassenkörpertürmen[3].

Ein Stammbaum kann mit Hilfe des -Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus (pGEA) konstruiert werden, ausgehend von einer vorgegebenen Anfangsgruppe, die als Wurzel des Baums angenommen wird. Der pGEA ist ein rekursiver Prozess für die Lösung dieses Problems der Konstruktion des Stammbaums einer gegebenen endlichen -Gruppe, welche die Wurzel des Baums bildet. Dieser Algorithmus ist im Softwarepaket ANUPQ (Australian National University P-Quotient)[4] der Computer-Algebra-Systeme GAP (Groups-Algorithms-Programming) und Magma implementiert.

Definitionen und Terminologie

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Wir definieren eine Baumstruktur und starten mit einer endlichen  -Gruppe  .

Vorgänger und Nachfolger

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Vorgänger

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Es gibt mehrere unterschiedliche Definitionen des (unmittelbaren) Vorgängers   einer endlichen  -Gruppe  . Das gemeinsame Prinzip ist die Bildung des Quotienten   von   nach einem geeigneten Normalteiler  , für den es die folgenden Möglichkeiten gibt:[5]

V
  1. das Zentrum   von  , in welchem Fall   der Zentralquotient von   genannt wird (V1),
  2. der letzte nicht-triviale Term   der absteigenden Zentralreihe von  , wobei   die Nilpotenzklasse von   bezeichnet (V2),
  3. der letzte nicht-triviale Term   der unteren Exponent-p-Zentralreihe von  , wobei   die Exponent-p-Klasse von   bedeutet (V3),
  4. der letzte nicht-triviale Term   der abgeleiteten Reihe von  , wobei   die abgeleitete Länge von   bezeichnet (V4).

Nachfolger

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In jedem dieser Fälle heißt   ein unmittelbarer Nachfolger von   und eine gerichtete Kante des Baums wird erklärt entweder als   in Richtung der kanonischen Projektion   auf den Quotienten   oder als   in der entgegengesetzten Richtung, die für Stammbäume geläufiger ist.

Die erstere Konvention (sogenannter In-Tree) wird verwendet von C. R. Leedham-Green und M. F. Newman,[6] von M. du Sautoy und D. Segal,[7] von C. R. Leedham-Green und S. McKay,[8] sowie von B. Eick, C. R. Leedham-Green, M. F. Newman und E. A. O'Brien.[9] Die letztere Definition (sogenannter Out-Tree) findet man bei M. F. Newman,[5] bei M. F. Newman und E. A. O'Brien,[10] bei M. du Sautoy,[1] sowie bei B. Eick und C. R. Leedham-Green.[2]

Im Folgenden wird die Richtung der kanonischen Projektionen für alle Kanten gewählt, sodass Stammbäume als gewurzelte In-Trees erscheinen. Dann ist ein Vertex  , in Verallgemeinerung des unmittelbaren Nachfolgers, ein Nachfolger eines Vertex  , und   ist ein Vorgänger von  , wenn entweder   mit   übereinstimmt oder wenn es einen Pfad gibt,

 , wobei  ,

bestehend aus gerichteten Kanten von   bis zu  . Die den Pfad bildenden Vertices fallen notwendigerweise zusammen mit den iterierten Vorgängern   von  , mit  :

 , wobei  .

Erläuterungen

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Definition V2

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Im einen wichtigen Spezialfall (V2) von Vorgängern, die als Quotienten nach der letzten nicht-trivialen unteren Zentrale definiert sind, können die Vertices des Pfades auch aufgefasst werden als sukzessive Quotienten   der Klasse   von  , falls die Nilpotenzklasse von   durch   gegeben ist:

 , mit  .

Definition V3

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Im anderen wichtigen Spezialfall (V3) von Vorgängern, die als Quotienten nach der letzten nicht-trivialen unteren Exponent-p Zentrale definiert sind, können die Vertices des Pfades auch aufgefasst werden als sukzessive Quotienten   der p-Klasse   von  , falls die p-Klasse von   durch   gegeben ist:

 , mit  .

Stammbaum

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Allgemein ist der Stammbaum   eines Vertex   der Teilbaum aller Nachfolger von  , beginnend an der Wurzel  . Der maximal mögliche Stammbaum   der trivialen Gruppe   enthält alle endlichen  -Gruppen und ist sehr exzeptionell, weil die triviale Gruppe   für jede Vorgänger-Definition (V1–V4) unendlich viele abelsche  -Gruppen als unmittelbare Nachfolger hat. Dabei ist aber zu beachten, dass die triviale Gruppe nur eine entartete  -Gruppe für jede beliebige Primzahl   ist.

Der Übergang von einem Vorgänger zu seinen Nachfolgern wird auch Propagation genannt. Äquivalente Sprechweisen dafür, dass   Nachfolger von   ist, sind:   stammt von   ab,   gibt Anlass zu   und   propagiert zu  .

Weiteres zu V1–V4

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Die Vorgänger-Definitionen (V2) und (V3) haben den Vorteil, dass jede nicht-triviale endliche  -Gruppe (mit durch   teilbarer Ordnung) nur endlich viele unmittelbare Nachfolger besitzt. Bei Verwendung der Definition (V1) des Vorgängers als Zentralquotient   kann es vorkommen, dass unendlich viele  -Gruppen denselben Vorgänger haben. Für jede ungerade Primzahl   besitzen beispielsweise die Gruppen   aller abzählbar unendlich vielen Zweige der Isoklinieklassen   und   von P. Hall[11] dieselbe Gruppe   maximaler Klasse als Zentralquotienten  . Auch die Definition (V4) des Vorgängers als Quotient   nach der letzten nicht-trivialen abgeleiteten Untergruppe hat denselben Nachteil. Beispielsweise ist jede nicht-zyklische abelsche  -Gruppe Kommutator-Quotient   und somit Vorgänger   von unendlich vielen metabelschen  -Gruppen  , die ja die abgeleitete Länge   haben.

Die Definition (V2) des Vorgängers als Quotient   nach der letzten nicht-trivialen unteren Zentrale hat den Vorteil, dass der Vorgänger   einer nicht-abelschen  -Gruppe   nicht nur denselben Erzeugenden-Rang  , sondern sogar denselben Kommutator-Quotienten, also dieselbe Abelisierung, besitzt wie  :

 ,

weil   für  .

 
Abbildung 0: Arten der Propagation.

Warnung. Im Hinblick auf den  -Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus, der die Definition (V3) des Vorgängers als Quotient   nach der letzten nicht-trivialen unteren p-Zentrale verwendet, muss darauf hingewiesen werden, dass zwar   nach dem Basissatz von Burnside denselben Erzeugenden-Rang   besitzt wie  , aufgrund der Invarianz des Frattini-Quotienten, also der Elementar-Abelisierung:

 ,

weil   für  , dass aber   eine andere Abelisierung aufweisen kann als  , wenn nicht  . Man spricht dann von exogenetischer Propagation, bei Invarianz der Abelisierung hingegen von endogenetischer Propagation. Diese Arten der Propagation werden in Abbildung 0 durch Nachkommen mit drei verschiedenen Schrittweiten   veranschaulicht, wobei als Wurzel die elementar-bizyklische  -Gruppe mit einer beliebigen Primzahl   dient.

Pro-p-Gruppen und Koklassen-Bäume

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Für ein solides Verständnis von Koklassen-Bäumen als spezielle und besonders bedeutende Instanz von Stammbäumen, ist es erforderlich, einige Tatsachen in Bezug auf unendliche topologische pro- -Gruppen zusammenzufassen. Die Terme  , mit  , der unteren Zentralreihe einer pro-  Gruppe   sind abgeschlossene (und offene) Untergruppen mit endlichem Index. Daher sind die entsprechenden Quotienten   endliche  -Gruppen. Man sagt, die pro- -Gruppe   sei von der Koklasse  , wenn der Grenzwert   der Koklasse der sukzessiven Quotienten existiert und endlich ist. Eine unendliche pro- -Gruppe   der Koklasse   ist eine  -adische prä-Raumgruppe,[9] weil sie einen Normalteiler   enthält, die Translationsgruppe, der als freier Modul über dem Ring   der  -adischen ganzen Zahlen einen eindeutig bestimmten Rang   besitzt, die Dimension, sodass der Quotient   eine endliche  -Gruppe ist, die Punktgruppe, welche auf   uniseriell operiert. Die Dimension ist gegeben durch

 , mit einer gewissen ganzen Zahl  .

Ein zentrales Endlichkeits-Ergebnis für unendliche pro- -Gruppen der Koklasse   ist enthalten im sogenannten Theorem D, einem der fünf Koklassen-Theoreme die im Jahr 1994 unabhängig bewiesen wurden von A. Shalev[12] und von C. R. Leedham-Green,[13] und die bereits im Jahr 1980 von C. R. Leedham-Green und M. F. Newman vermutet worden waren.[6] Theorem D garantiert, dass es nur endlich viele Isomorphieklassen unendlicher pro- -Gruppen der Koklasse   gibt, für jede feste Primzahl   und jede feste nicht-negative ganze Zahl  . Als Konsequenz existiert zu jeder unendlichen pro- -Gruppe   der Koklasse   eine kleinste ganze Zahl  , sodass die folgenden drei Bedingungen für jede ganze Zahl   erfüllt werden.

S
  1. die Koklasse des unteren Zentralquotienten hat den festen Wert   (S1),
  2.   ist nicht unterer Zentralquotient einer anderen unendlichen pro- -Gruppe der Koklasse  , die nicht isomorph zu   ist (S2),
  3. der Faktor   ist zyklisch von der Ordnung   (S3).

The Stammbaum  , bezüglich der Vorgänger-Definition (V2), der Wurzel   mit minimalem   heißt der Koklassen-Baum   von   und sein eindeutig bestimmter maximaler unendlicher (umgekehrt-orientierter) Pfad

 

wird als Hauptlinie (oder Stamm) des Baumes bezeichnet.

 
Abbildung 1: Ein abstrakter Stammbaum.

Baum-Diagramm

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In Diagrammen zur Visualisierung endlicher Teile von Stammbäumen verwendet man eine Terminologie, die in Abbildung 1 mit Hilfe eines abstrakten Baums erklärt wird. Auf der linken Seite bestimmt ein Niveau das grundlegende Top-Down-Design eines Stammbaums. In konkreten Bäumen, etwa in Abbildung 3, wird das Niveau üblicherweise ersetzt durch eine Skala von Ordnungen, die von Kopf bis Fuß zunehmen. Ein Vertex ist erweiterbar, wenn er zumindest einen unmittelbaren Nachfolger besitzt, anderenfalls ist er terminal (oder ein Blatt). Vertices mit einem gemeinsamen Vorgänger heißen Geschwister.

 
Abbildung 2: Ein gestutzter abstrakter Koklassen-Baum.

Ist der Stammbaum ein Koklassen-Baum   mit fester Koklasse   Wurzel   und mit Hauptlinie  , deren Vertices dem Niveau   entsprechend etikettiert sind, dann heißt der endliche Teilbaum, der als Differenz

 

definiert ist, der  -te Zweig des Baums (Branch) oder auch der Zweig   mit Wurzel  , für jedes  . Die Tiefe eines Zweigs ist die maximale Länge der Pfade, die seine Vertices mit seiner Wurzel verbinden. Abbildung 2 zeigt einen abstrakten Koklassen-Baum, dessen Zweige   und   vorperiodische Unregelmäßigkeiten aufweisen. Alle seine Zweige haben die Tiefe  . Die Zweige   und   sind paarweise isomorph als Graphen, weil die Periodizität (mit Länge  ) beim dritten Vertex der Hauptlinie, der periodischen Wurzel  , einsetzt. Das Niveau der Ordnungen wird durch Verwendung eines Exponenten   variabel belassen.

Wenn alle Vertices mit einer Tiefe oberhalb einer vorgegebenen ganzen Zahl   aus dem Zweig   entfernt werden, dann erhält man den auf die Tiefe   gestutzten Zweig  .Dementsprechend besteht der auf die Tiefe   gestutzte Koklassen-Baum  , beziehungsweise the vollständige Koklassen-Baum  , aus der unendlichen Folge seiner gestutzten Zweige  , beziehungsweise (vollen) Zweige  , verbunden durch die Hauptlinie, deren Vertices   als unendlich erweiterbar bezeichnet werden. In der Abbildung 2 ist der auf die Tiefe   gestutzte Koklassen-Baum   hervorgehoben.

Virtuelle Periodizität

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Die Periodizität der Zweige eines gestutzten Koklassen-Baums wurde bewiesen mit analytischen Methoden unter Verwendung von Kegel-Integralen und Zeta-Funktionen[7] von Gruppen durch M. du Sautoy,[1] und mit algebraischen Techniken mittels Kohomologiegruppen durch B. Eick und C. R. Leedham-Green.[2] Die ersteren Methoden gestatten die qualitative Einsicht in die ultimative virtuelle Periodizität, während die letzteren Techniken sogar die quantitative Struktur enthüllen.

Für jede unendliche pro- -Gruppe   der Koklasse   und Dimension  , und für jede vorgegebene Tiefe  , gibt es eine effektive kleinste untere Schranke  , ab der die Periodizität der Länge   der gestutzten Zweige des Koklassen-Baums   einsetzt, das heißt, es existieren Graphen-Isomorphismen

  für alle  .

Die Graphen-Isomorphismen der auf die Tiefe   gestutzten Zweige mit Wurzeln hinreichend großer Ordnung   werden mit kohomologischen Methoden hergeleitet in Theorem 6, p. 277, und Theorem 9, p. 278, durch Eick und Leedham-Green.[2] Die effektive untere Schranke   für die Ordnungen der Zweigwurzeln wird nachgewiesen in Theorem 29, p. 287, des genannten Artikels. (Ende des Beweises.)

Diese zentralen Resultate lassen sich anschaulich folgendermaßen formulieren: Betrachten wir einen Koklassen-Baum mit einem Paar von Scheuklappen und ignorieren wir eine endliche Anzahl vor-periodischer Zweige an der Spitze, dann werden wir ein sich wiederholendes endliches Muster sehen (ultimative Periodizität beim Abschneiden in fester Tiefe). Wenn wir jedoch immer breitere Scheuklappen verwenden, dann kann der vor-periodische Anfangsabschnitt immer länger werden (virtuelle Periodizität bei variabler Tiefe).

Der Vertex   heißt die periodische Wurzel des gestutzten Koklassen-Baums, für einen festen Wert der Tiefe  . Siehe Abbildung 2.

Multifurkation und Koklassen-Graphen

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Es sei wieder angenommen, die Vorgänger endlicher  -Gruppen sind definiert als letzte nicht-triviale untere Zentralquotienten (V2). Für eine  -Gruppe   mit Koklasse   unterscheidet man ihren (vollständigen) Stammbaum   und ihren Koklasse-  Stammbaum  . Letzterer ist der Teilbaum, welcher ausschließlich aus Nachfolgern mit Koklasse   besteht. Die Gruppe   heißt koklassen-stabil, wenn beide Bäume   zusammenfallen, wenn es also keine Nachfolger von   mit größerer Koklasse als   gibt.

Im Fall der Vorgänger-Definition (V3) (bei der Definition (V2) im Allgemeinen nur für hinreichend große Ordnung) erlaubt der nukleare Rang   der Gruppe   in der Theorie des  -Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus von M. F. Newman[14] und E. A. O'Brien[15] die folgenden drei Kriterien.

N
  1.   ist terminal, und somit trivialerweise koklassen-stabil, genau dann, wenn   (N1).
  2. Falls  , dann ist   erweiterbar, aber es bleibt zunächst unbekannt, ob   koklassen-stabil ist (N2).
  3. Falls  , dann ist   erweiterbar und ganz offensichtlich nicht koklassen-stabil (N3).

Im letzten Fall ist eine präzisere Aussage möglich: Hat die Gruppe   die Koklasse   und den nuklearen Rang  , dann gibt sie Anlass zu einer  -fachen Multifurkation in einen regulären Koklasse-  Stammbaum   und   irreguläre Graphen   der Koklasse  , mit  . Folglich ist der Stammbaum von   die disjunkte Vereinigung

 .

Multifurkation korreliert mit verschiedenen Ordnungen der letzten nicht-trivialen unteren Zentrale von unmittelbaren Nachfolgern. Da die Nilpotenzklasse beim Übergang von einem Vorgänger   zu jedem unmittelbaren Nachfolger   exakt um eine Einheit zunimmt,  , bleibt die Koklasse genau dann stabil,  , wenn the letzte nicht-triviale untere Zentrale zyklisch von der Ordnung   ist. Dann nimmt nämlich der Exponent der Ordnung ebenfalls exakt um eine Einheit zu,  . In diesem Fall ist   ein regulärer unmittelbarer Nachfolger mit gerichteter Kante   der Schrittweite  , wie üblich. Die Koklasse nimmt jedoch um   zu, wenn   eine höhere Ordnung mit   besitzt. Dann ist   ein irregulärer unmittelbarer Nachfolger mit gerichteter Kante   der Schrittweite  .

Wenn allen gerichteten Kanten die Bedingung der Schrittweite   auferlegt wird, dann zerfällt der maximale Stammbaum   der trivialen Gruppe   in eine abzählbar unendliche disjunkte Vereinigung

 

von gerichteten Koklassen-Graphen  , die im Allgemeinen eher Wälder sind als Bäume. In breiterer Ausführlichkeit formuliert, implizieren die oben-erwähnten Koklassen-Theoreme, dass

 

eine disjunkte Vereinigung ist, einerseits von endlich vielen Koklassen-Bäumen   mit assoziierten paarweise nicht-isomorphen unendlichen pro- -Gruppen   der Koklasse   (Theorem D) und andererseits von einem endlichen Teilgraphen   von sporadischen Gruppen, die außerhalb von jeglichen Koklassen-Bäumen liegen.

Identifier

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Die SmallGroups Library Identifier von beliebigen endlichen Gruppen, insbesondere auch von endlichen  -Gruppen, die in den folgenden konkreten Beispielen von Stammbäumen in der Gestalt

 

angegeben werden, stammen von H. U. Besche, B. Eick and E. A. O'Brien.[16][17] Sind die Gruppen-Ordnungen längs einer Skala auf der linken Seite angeordnet, wie in den Abbildungen 3 und 4, dann werden die Identifier kurz in Winkel-Klammern notiert als

 .

Abhängig von der Primzahl   gibt es eine obere Schranke der Ordnung von Gruppen, für die ein SmallGroup Identifier existiert, zum Beispiel   für  ,   für   und   für  . Für Gruppen mit größeren Ordnungen wird eine Notation mit relativen Identifiern verwendet, welche die Nachfolger-Struktur imitiert. Ein regulärer unmittelbarer Nachfolger, der durch eine Kante der Schrittweite   mit seinem Vorgänger   verbunden ist, wird bezeichnet mit

 ,

und ein irregulärer unmittelbarer Nachfolger, von dem aus eine Kante der Schrittweite   zu seinem Vorgänger   führt, wird notiert in der Gestalt

 .

Die Implementierungen des  -Gruppen Erzeugungs-Algorithmus in den Computational Algebra Systemen GAP (Groups, Algorithms, Programming) und Magma benützen diese relativen Identifier, die auf J. A. Ascione im Jahr 1979 zurückgehen.[18]

Konkrete Beispiele von Stammbäumen

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In allen Beispielen bezieht sich die zugrundeliegende Vorgänger-Definition (P2) auf die gewöhnliche untere Zentralreihe. Gelegentliche Unterschiede zur Vorgänger-Definition (P3) in Bezug auf die untere Exponent-p Zentralreihe werden besonders hervorgehoben.

Koklasse 0

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Der Koklassen-Graph der endlichen  -Gruppen mit Koklasse   enthält keinerlei Koklassen-Bäume, sondern besteht ausschließlich aus sporadischen Gruppen,

 ,

nämlich aus der trivialen Gruppe   und der zyklischen Gruppe   der Ordnung  , die in Bezug auf die Vorgänger-Definition (V2) terminal ist. (Sie ist jedoch erweiterbar bezüglich der Definition (V3) mit der unteren Exponent-p Zentralreihe und gibt Anlass zu der separaten exogenetischen Propagation sämtlicher zyklischen  -Gruppen   mit  ). Für   ist   der SmallGroup Identifier von  , für   ist er  .

 
Abbildung 3: Koklassen-Graph endlicher 2-Gruppen mit Koklasse 1

Koklasse 1

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Der Koklassen-Graph aller endlichen  -Gruppen der Koklasse  , die auch als Gruppen maximaler Klasse bezeichnet werden,

 ,

besteht aus einem einzigen Koklassen-Baum   mit Wurzel  , der elementar abelschen  -Gruppe vom Rang  , und einem einzelnen isolierten Vertex (einem terminalen Waisenkind ohne echten Vorgänger im selben Koklassen-Graphen, weil die gerichtete Kante zu der trivialen Gruppe   die Schrittweite   besitzt), der zyklischen Gruppe   der Ordnung   in the sporadischen Teil  . (Wie schon oben erwähnt, ist diese Gruppe jedoch erweiterbar in Bezug auf die untere Exponent-p Zentralreihe.) Der Baum   ist der Koklassen-Baum der eindeutig bestimmten unendlichen pro-p Gruppe   mit Koklasse  .

Für  , beziehungsweise  , ist der SmallGroup Identifier der Wurzel   definiert als  , beziehungsweise  . Ein Baumdiagramm des Koklassen-Graphen, beginnend mit Zweig   bis hinunter zum Zweig   (gezählt bezüglich des p-Logarithmus der Ordnung der Zweigwurzel), ist dargestellt in Abbildung 3, beziehungsweise Abbildung 4, wo alle Gruppen der Ordnung zumindest   metabelsch sind, also nicht-abelsch mit auflösbarer Länge  . Metabelsche Vertices sind durch schwarze Kreisscheiben repräsentiert, im Gegensatz zu Kontur-Quadraten, die abelsche Gruppen symbolisieren. In Abbildung 4 bezeichnen kleinere schwarze Kreisscheiben solche metabelschen 3-Gruppen, deren sämtliche maximalen Untergruppen nicht-abelsch sind, ein neues Phänomen, welches für die metabelschen 2-Gruppen in Abbildung 3 noch nicht auftritt, weil sie alle eine abelsche Untergruppe vom Index   besitzen (üblicherweise genau eine). Der Koklassen-Baum im Graphen  , beziehungsweise  , hat die periodische Wurzel   und Periodizität der Länge  , beginnend mit Zweig  , beziehungsweise die periodische Wurzel  , also Periodizität der Länge   setzt hier erst mit Zweig   ein. Beide Bäume besitzen Zweige global beschränkter Tiefe  , sodass also ihre virtuelle Periodizität tatsächlich sogar eine strenge Periodizität ist.

Wesentlich komplexer ist die Struktur des (einzigen) Koklassen-Baums im Graphen   mit  , denn dieser hat unbeschränkte Tiefe und enthält auch nicht-metabelsche Gruppen. Jeder Baum mit   hat sogar unbeschränkte Breite, das heißt, die Anzahl der Nachfolger einer festen Ordnung nimmt mit wachsender Ordnung unbeschränkt zu.[19]

Mit Hilfe der Kerne und Ziele von Artin-Verlagerungen können die Diagramme in den Abbildungen 2 und 3 mit zusätzlicher Information bereichert und als strukturierte Stammbäume dargestellt werden.

Die konkreten Prototypen   und   von Koklassen-Graphen bieten die Gelegenheit, eine parametrisierte polyzyklische Potenz-Kommutator Präsentation[20] für den vollständigen Koklassen-Baum  ,  , anzugeben. Auf diese Kompression unbeschränkter Informationen über unendlich viele Gruppen in eine endliche Formel wurde bereits in the Einleitung als großer Vorteil des Stammbaum-Konzepts und als Folge der Periodizität des gesamten Koklassen-Baums hingewiesen. In beiden Fällen werden die Gruppen   von zwei Elementen   erzeugt, aber die Präsentation enthält zusätzlich eine Reihe von höheren Kommutatoren  ,  , die mit dem Hauptkommutator   beginnt. Die Nilpotenz wird formal durch die Relation   ausgedrückt, wenn die Gruppe von der Ordnung   ist.

 
Abbildung 3: Koklassen-Graph endlicher 3-Gruppen mit Koklasse 1

Für   gibt es zwei Parameter   und die pc-Präsentation ist gegeben durch

 

Die 2-Gruppen maximaler Klasse, das heißt von Koklasse  , bilden drei periodische unendliche Folgen,

  • Diedergruppen,  ,  , welche die Hauptlinie bilden (mit unendlich erweiterbaren Vertices),
  • Verallgemeinerte Quaternionengruppen,  ,  , welche sämtlich terminale Vertices sind,
  • Semidiedergruppen,  ,  , welche ebenfalls Blätter sind.

Für   braucht man drei Parameter,   und  , und die PC-Präsentation ist gegeben durch

 

Die 3-Gruppen mit Parameter   besitzen eine abelsche maximale Untergruppe, jene mit Parameter   haben keine. Genauer ausgedrückt ist eine existierende abelsche maximale Untergruppe eindeutig bestimmt, mit Ausnahme der zwei extra-speziellen Gruppen   and  , bei denen alle vier maximalen Untergruppen abelsch sind.

Im Gegensatz zu jeder größeren Koklasse   enthält der Koklassen-Graph   ausschließlich  -Gruppen   mit Kommutator-Quotient   des Typs  , mit Ausnahme seines einzigen isolierten Vertex  . Der Fall   ist ausgezeichnet durch die Gültigkeit der umgekehrten Aussage: Jede beliebige 2-Gruppe mit Abelisierung des Typs   ist von der Koklasse   (Theorem von O. Taussky[21]).

 
Abbildung 5: Schnittstelle zwischen 3-Gruppen der Koklasse 1 und 2

Koklasse 2

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Die Genese des Koklassen-Graphen   mit   ist nicht uniform, weil  -Gruppen mit mehreren verschiedenen Abelisierungen zu seiner Konstitution beitragen. Für die Koklasse   hat man essentielle Beiträge durch Gruppen   mit Abelisierungen   der Typen  ,  ,  , und einen isolierten Beitrag von der zyklischen Gruppe   der Ordnung  :

 .

Kommutator-Quotient vom Typ (p,p)

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Im Gegensatz zu  -Gruppen der Koklasse   mit Kommutator-Quotienten vom Typ   oder  , die als reguläre Nachfolger abelscher  -Gruppen desselben Typs zu finden sind, entstehen  -Gruppen der Koklasse   mit Kommutator-Quotient des Typs   als irreguläre Nachfolger einer nicht-abelschen  -Gruppe der Koklasse  , welche noch nicht koklassen-stabil ist.

Für die Primzahl   gibt es überhaupt keine solchen Gruppen, weil die diedrale 2-Gruppe   bereits koklassen-stabil ist. Genau das ist die tiefere Ursache für das vielzitierte Taussky-Theorem. Diese bemerkenswerte Tatsache war aber Giuseppe Bagnera[22] schon im Jahr 1898 bewusst.

Für alle ungeraden Primzahlen   ist die Existenz von  -Gruppen mit Koklasse   und Kommutator-Quotient des Typs   dem Umstand zuzuschreiben, dass die Gruppe   noch nicht koklassen-stabil ist. Ihr nuklearer Rang ist   und das gibt Anlass zu einer Bifurkation des Stammbaums   in zwei Koklassen-Graphen. Die reguläre Komponente   ist ein Teilbaum des einzigen Baums   im Koklassen-Graphen  . Die irreguläre Komponente   wird zu einem Teilgraphen   des Koklassen-Graphen  , wenn die verbindenden Kanten der Schrittweite   zu den irregulären unmittelbaren Nachfolgern von   entfernt werden.

Für   ist dieser Teilgraph   in Abbildung 5 dargestellt. Sie zeigt die Schnittstelle zwischen endlichen 3-Gruppen mit Koklasse   beziehungsweise   und Kommutator-Quotient vom Typ  . Der Teilgraph   hat sieben Vertices von drei charakteristischen Sorten auf Top-Niveau, alle von der Ordnung  , also bereits von G. Bagnera entdeckt.[22]

  • Erstens gibt es zwei terminale Schur σ-Gruppen   und   im sporadischen Anteil   des Koklassen-Graphen  .
  • Zweitens sind die zwei Gruppen   und   Wurzeln endlicher Bäume   im sporadischen Teil  . Da sie jedoch nicht koklassen-stabil sind, werden ihre vollständigen Stammbäume   unendlich.
  • Drittens geben die drei Gruppen  ,   und   Anlass zu (unendlichen) Koklassen-Bäumen, nämlich  ,  ,  , jeder davon mit metabelscher Hauptlinie, im periodischen Teil des Koklassen-Graphen  . Wiederum ist keine dieser drei Gruppen koklassen-stabil.

Durch Hinzunahme zusätzlicher Informationen über Kerne und Ziele von Artin-Verlagerungen werden diese Bäume zu strukturierten Stammbäumen.

Definition. Allgemein versteht man unter einer Schur-Gruppe (von I. Schur selbst, der den Begriff prägte, noch geschlossene Gruppe genannt) eine pro-p Gruppe  , deren Relationen-Rank   mit ihrem Generatoren-Rank   übereinstimmt. Eine σ-Gruppe ist eine pro-p Gruppe   mit einem Automorphismus  , der auf dem Kommutator-Quotienten   die Inversion   induziert. Schließlich versteht man unter einer Schur σ-Gruppe eine Schur-Gruppe  , die zugleich eine σ-Gruppe ist und eine endliche Abelianisierung   besitzt.

Als Warnung sei erwähnt, dass die Gruppe   keine Wurzel eines Koklassen-Baums ist, denn ihr unmittelbarer Nachfolger  , der die Wurzel eines Koklassen-Baums mit metabelschen Hauptlinien-Vertices ist, besitzt zwei Geschwister  , beziehungsweise  , die Anlass geben zu einem einzelnen, beziehungsweise drei, Koklassen-Bäumen mit nicht-metabelschen Hauptlinien-Vertices (alle mit zyklischem Zentrum der Ordnung  ) und Zweigen von beträchtlicher Komplexität, die aber dennoch beschränkte Tiefe   aufweisen.

Table 1: Quotienten der Gruppen G=G(f,g,h) [9]
Parameter
 
Abelisierung
 
Klasse-2 Quotient
 
Klasse-3 Quotient
 
Klasse-4 Quotient
 
         
         
         
         
         
         

Pro-3-Gruppen der Koklasse 2 mit nicht-trivialem Zentrum

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B. Eick, C. R. Leedham-Green, M. F. Newman und E. A. O’Brien[9] konstruierten im Jahr 2013 eine Familie unendlicher pro-3-Gruppen mit Koklasse   und nicht-trivialem Zentrum der Ordnung  . Die Mitglieder der Familie sind durch drei Parameter   charakterisiert. Ihre endlichen Quotienten erzeugen alle Hauptlinien-Vertices mit bizyklischem Zentrum des Typs   von sechs Koklassen-Bäumen im Koklassen-Graph  . Die Assoziation der drei Parameter zu den Wurzeln dieser sechs Bäume ist in Tabelle 1 angegeben. Die Baumdiagramme, mit Ausnahme der Abelisierung  , sind in den Abbildungen 4 und 5 dargestellt und die parametrisierte pro-3 Präsentation ist gegeben durch

 

Koklasse 3

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Auch hier tragen wieder  -Gruppen mit mehreren verschiedenen Abelisierungen zur Konstitution des Koklassen-Graphen   bei. Es gibt reguläre, beziehungsweise irreguläre, wesentliche Beiträge von Gruppen   with Kommutator-Quotienten   der Typen  ,  ,  ,  , beziehungsweise  ,  ,  , und einen isolierten Beitrag durch die zyklischen Gruppe   der Ordnung  .

Kommutator-Quotient vom Typ (p,p,p)

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Weil die elementar-abelsche  -Gruppe   vom Rang  , das heißt, die Gruppe   für  , beziehungsweise die Gruppe   für  , nicht koklassen-stabil ist, gibt sie Anlass zu einer Multifurkation. Die reguläre Komponente   ist im Abschnitt über Koklasse   beschrieben worden. Die irreguläre Komponente   wird zu einem Teilgraphen   des Koklassen-Graphen  , wenn man die verbindenden Kanten mit Schrittweite   der irregulären unmittelbaren Nachfolger von   entfernt.

Für   ist dieser Teilgraph   in Abbildung 6 enthalten. Er besitzt neun Top Level Vertices der Ordnung  , welche man in terminale und erweiterbare Vertices einteilen kann.

  • Die zwei Gruppen   und   sind terminal.
  • Die fünf Gruppen   und die zwei Gruppen   sind unendlich erweiterbar.

Die aus den erweiterbaren Vertices entstehenden Bäume stehen auf folgende Weise in Zusammenhang mit unendlichen pro-2 Gruppen von M. F. Newman und E. A. O'Brien.[10]

  gibt Anlass zu zwei Bäumen,
  assoziiert mit der Familie  , und
  assoziiert mit der Familie  .
  ist assoziiert mit der Familie  .
  ist assoziiert mit der Familie  .
  ist assoziiert mit der Familie  .
  gibt Anlass zu
  assoziiert mit der Familie  . Schließlich ist
  assoziiert mit der Familie  .
Tabelle 2: Klasse-2 Quotienten Q gewisser metabelscher 2-Gruppen G vom Typ (2,2,2) [23]
SmallGroups
Identifier von Q
Hall Senior
Klassifikation von Q
Schur Multiplikator
 
2-Rang von G'
 
4-Rang von G'
 
Maximum von
 
  32.040        
  32.041        
  32.037        
  32.038        
  32.035        
  32.036        
  32.033       or    

Hall-Senior-Klassifikation von 2-Gruppen

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Sieben von diesen neun Top-Level-Vertices sind von E. Benjamin, F. Lemmermeyer und C. Snyder untersucht worden[23] im Hinblick auf ihr Vorkommen als Klasse-2-Quotienten   größerer metabelscher 2-Gruppen   des Typs   und mit Koklasse  , die exakt die Mitglieder der Stammbäume der sieben Vertices sind. Diese Autoren verwenden die Klassifikation der 2-Gruppen von M. Hall und J. K. Senior,[24] die in Tabelle 2 in Korrespondenz mit der SmallGroups Library[16] gesetzt wird. Die Komplexität der Stammbäume dieser sieben Vertices wächst mit den 2-Rängen und 4-Rängen, die in Tabelle 2 angegeben sind. Dort werden die maximalen Untergruppen vom Index   in   mit   bezeichnet, für  .

Geschichte

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Stammbäume mit Zentralquotienten als Vorgängern (V1) kommen implizit im Artikel[11] über Isoklinie von Gruppen von P. Hall aus dem Jahr 1940 vor. Bäume mit dem Quotienten nach der letzten nicht-trivialen unteren Zentrale als Vorgänger (V2) wurden erstmals von C. R. Leedham-Green am International Congress of Mathematicians, 1974 in Vancouver vorgestellt.[5] Die ersten umfangreichen Baumdiagramme sind manuell angefertigt worden von J. A. Ascione, G. Havas und C. R. Leedham-Green (1977),[25] von J. A. Ascione (1979),[18] und von B. Nebelung (1989).[26] In den ersteren beiden Fällen wurde, im Hinblick auf computertechnische Vorteile, die Vorgänger-Definition mittels der unteren Exponent-p Zentralreihe (V3) benützt. Im letzteren Fall, wo theoretische Aspekte im Brennpunkt lagen, wurden die Vorgänger in Bezug auf die gewöhnliche untere Zentralreihe (V2) definiert.

Einzelnachweise

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  1. a b c du Sautoy, M.: Counting  -groups and nilpotent groups. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 92. Jahrgang, 2001, S. 63–112.
  2. a b c d Eick, B., Leedham-Green, C. R.: On the classification of prime-power groups by coclass. In: Bull. London Math. Soc. 40. Jahrgang, Nr. 2, 2008, S. 274–288, doi:10.1112/blms/bdn007.
  3. Bush, M. R., Mayer, D. C.: 3-Class field towers of exact length 3,. In: J. Number Theory. 147. Jahrgang, 2015, S. 766–777, doi:10.1016/j.jnt.2014.08.010.
  4. Gamble, G., Nickel, W., O'Brien, E. A.: ANU p-Quotient -- p-Quotient and p-Group Generation Algorithms. 2006, An Accepted GAP 4 Package, Available also in MAGMA.
  5. a b c Newman, M. F.: Groups—Canberra 1989 (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1456). Springer, 1990, ISBN 978-3-540-53475-4, Groups of prime-power order, S. 49–62, doi:10.1007/bfb0100730.
  6. a b Leedham-Green, C. R., Newman, M. F.: Space groups and groups of prime power order I. In: Arch. Math. 35. Jahrgang, 1980, S. 193–203, doi:10.1007/bf01235338.
  7. a b du Sautoy, M., Segal, D.: New horizons in pro-  groups (= Progress in Mathematics. Band 184). Birkhäuser, Basel 2000, Zeta functions of groups, S. 249–28.
  8. Leedham-Green, C. R., McKay, S.: The structure of groups of prime power order. In: London Mathematical Society Monographs. 27. Jahrgang. Oxford University Press, 2002.
  9. a b c d Eick, B., Leedham-Green, C. R., Newman, M. F., O'Brien, E. A.: On the classification of groups of prime-power order by coclass: the 3-groups of coclass 2. In: Int. J. Algebra Comput. 23. Jahrgang, Nr. 5, 2013, S. 1243–1288, doi:10.1142/s0218196713500252.
  10. a b Newman, M. F., O'Brien, E. A.: Classifying 2-groups by coclass. In: Trans. Amer. Math. Soc. 351. Jahrgang, 1999, S. 131–169, doi:10.1090/s0002-9947-99-02124-8.
  11. a b Hall, P.: The classification of prime-power groups. In: J. Reine Angew. Math. 182. Jahrgang, 1940, S. 130–141.
  12. Shalev, A.: The structure of finite  -groups: effective proof of the coclass conjectures. In: Invent. Math. 115. Jahrgang, 1994, S. 315–345, doi:10.1007/bf01231763, bibcode:1994InMat.115..315S.
  13. Leedham-Green, C. R.: The structure of finite  -groups. In: J. London Math. Soc. 50. Jahrgang, 1994, S. 49–67, doi:10.1112/jlms/50.1.49.
  14. Newman, M. F.: Determination of groups of prime-power order. pp. 73-84, in: Group Theory, Canberra, 1975, Lecture Notes in Math., Vol. 573, Springer, Berlin, 1977.
  15. O'Brien, E. A.: The  -group generation algorithm. In: J. Symbolic Comput. 9. Jahrgang, Nr. 5–6, 1990, S. 677–698, doi:10.1016/s0747-7171(08)80082-x.
  16. a b Besche, H. U., Eick, B., O'Brien, E. A.: The SmallGroups Library – a library of groups of small order. An accepted and refereed GAP 4 package, available also in MAGMA, 2005.
  17. Besche, H. U., Eick, B., O'Brien, E. A.: A millennium project: constructing small groups. In: Int. J. Algebra Comput. 12. Jahrgang, Nr. 5, 2002, S. 623–644, doi:10.1142/s0218196702001115.
  18. a b Ascione, J. A.: On 3-groups of second maximal class. Ph. D. Thesis, Australian National University, Canberra, 1979.
  19. Dietrich, H., Eick, B., Feichtenschlager, D.: Contemporary Mathematics, Computational group theory and the theory of groups. Band 470. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008, ISBN 978-0-8218-4365-9, Investigating p-groups by coclass with GAP, S. 45–61, doi:10.1090/conm/470/09185.
  20. Blackburn, N.: On a special class of p-groups. In: Acta Math. 100. Jahrgang, Nr. 1–2, 1958, S. 45–92, doi:10.1007/bf02559602.
  21. Taussky, O.: A remark on the class field tower. In: J. London Math. Soc. 12. Jahrgang, Nr. 2, 1937, S. 82–85, doi:10.1112/jlms/s1-12.1.82.
  22. a b Bagnera, G.: La composizione dei gruppi finiti il cui grado è la quinta potenza di un numero primo. In: Ann. Di Mat. (Ser. 3). 1. Jahrgang, 1898, S. 137–228, doi:10.1007/bf02419191 (zenodo.org).
  23. a b Benjamin, E., Lemmermeyer, F., Snyder, C.: Imaginary quadratic fields with <math>\mathrm{Cl}_2(k)\simeq (2,2,2)</math>. In: J. Number Theory. 103. Jahrgang, 2003, S. 38–70, doi:10.1016/S0022-314X(03)00084-2, arxiv:math/0207307.
  24. Hall, M., Senior, J. K.: The groups of order    . Macmillan, New York, 1964.
  25. Ascione, J. A., Havas, G., Leedham-Green, C. R.: A computer aided classification of certain groups of prime power order. In: Bull. Austral. Math. Soc. 17. Jahrgang, Nr. 2, 1977, S. 257–274, doi:10.1017/s0004972700010467.
  26. Nebelung, B.: Klassifikation metabelscher 3-Gruppen mit Faktorkommutatorgruppe vom Typ (3,3) und Anwendung auf das Kapitulationsproblem. Inauguraldissertation, Universität zu Köln, 1989.