Störungslemma
mathematischer Satz
Als Störungslemma bezeichnet man in der Numerik einen Satz, der eine Aussage über die Norm der Inversen einer regulären Matrix bei kleinen Störungen macht.
Aussage Bearbeiten
Sei eine reguläre Matrix und eine Matrix mit
in einer submultiplikativen Matrixnorm . Dann ist auch die Matrix regulär und es gilt für ihre Inverse:
Beweis Bearbeiten
Sei . Dann gilt
Also konvergiert die Neumann-Reihe und ist invertierbar. Da invertierbar ist, folgt, dass auch invertierbar ist und
Verwendung Bearbeiten
Dieses Lemma wird verwendet, um die Konditionszahl für das Lösen linearer Gleichungssysteme als
herzuleiten.
Literatur Bearbeiten
- J. W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia 1997
- A. Kielbasinski und H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988, ISBN 3-326-00194-0