Satz von Varignon
mathematischer Satz
Der Satz von Varignon (auch Satz vom Mittenviereck) beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon (1654–1722).
Formulierung Bearbeiten
Wenn man die Mitten benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.
Beweis Bearbeiten
Voraussetzung Bearbeiten
Behauptung Bearbeiten
Das Viereck EFGH ist ein Parallelogramm.
Gang des Beweises Bearbeiten
- Betrachte das Dreieck ABC. Nimmt man B als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt AC ∥ EF.
- Ebenso zeigt man, dass AC ∥ GH, BD ∥ FG, und BD∥ HE.
- Die Parallelität ist transitiv. Also ist EF ∥ HG und FG ∥ HE.
Die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.
Folgerungen Bearbeiten
Umfang des Varignon-Parallelogramms Bearbeiten
Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Ursprungsviereck.
Fläche des Varignon-Parallelogramms Bearbeiten
Die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 76-77
- H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. MAA, Washington 1967, S. 52–54
- Peter N. Oliver: Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem (PDF; 194 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 4, April 2001, S. 316–319
- Peter N. Oliver: Consequences of Varignon Parallelogram Theorem (PDF; 559 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 5, Mai 2001, S. 406–408
Weblinks Bearbeiten
- Eric W. Weisstein: Varignon’s Theorem. In: MathWorld (englisch).
- Varignon-Parallelogram in Compendium Geometry (englisch)
- Satz von Varignon bei Matroids Matheplanet
- Varignon parallelogram auf cut-the-knot-org