Satz von Escher

Nach dem Satz von Escher, benannt nach dem Graphiker M. C. Escher, in dessen Aufzeichnungen sich Untersuchungen zu parkettierenden Sechsecken finden, lässt sich die Ebene mit nicht-regelmäßigen Sechsecken parkettieren.

Parkettierung der Ebene nach dem Satz von Escher (Ausschnitt)

Mathematische Aussage

Als Grundlage für die Formulierung dient Abbildung 1 (siehe nächster Abschnitt) als Planfigur.

• Gegeben seien ein gleichseitiges Dreieck $ABC$ und ein Punkt $P$ außerhalb von $ABC$.
• Q sei Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks $QPB$, dessen Winkel an der Spitze die Weite 120° hat.
• R sei Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks $PRA$, dessen Winkel an der Spitze ebenfalls die Weite 120° hat.

Unter diesen Voraussetzungen ist auch das Dreieck $RQC$ gleichschenklig mit dem Winkel der Weite 120° an der Spitze.

Bei der Beweisführung wird mit Hilfe des Satzes von Napoleon die Konstruktion rückwärts betrachtet.

Die Punkte $A$, $B$ und $C$ sind jeweils Mittelpunkte von – in der Planfigur nicht enthaltenen – gleichseitigen Dreiecken über den Seiten $PR$ bzw. $PQ$ bzw. $RQ$ des Dreiecks $PQR$. Demnach ist $ABC$ das gleichseitige Napoleon-Dreieck des Dreiecks $PQR$. Aus dessen Eigenschaften folgt, dass die Dreiecke $PRA$, $QPB$ und $RQC$ gleichschenklig mit dem Winkel der Weite 120° an der Spitze sind.

Im Folgenden wird das Vieleck $APBQCR$ mit Escher-Sechseck bezeichnet.

Mögliche Formen des Escher-Sechsecks

Je nach Lage des Punktes $P$ entstehen konvexe, konkave, entartete und überschlagene Escher-Sechsecke.

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  Abb. 1: Konvexes Sechseck
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  Abb. 2: Konkaves Sechseck
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  Abb. 3: Entartetes Sechseck
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  Abb. 4: Überschlagenes Sechseck

• Liegt $P$ innerhalb des Dreiecks $AEB$, so ist das Escher-Sechseck konvex.
• Liegt $P$ im Innern eines der Dreiecke $DEA$ oder $EFB$, so ist das Escher-Sechseck konkav.
• Liegt $P$ auf einer der sechs Seiten der Dreiecke $ADE$, $BEF$ und $AEB$, so ist das Escher-Sechseck entartet.
• Liegt $P$ außerhalb der Dreiecke $ADE$, $BEF$ und $AEB$, so ist das Escher-Sechseck ein überschlagenes Sechseck.

Siehe auch

• Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
• Napoleon-Dreieck
• Napoleon-Punkt

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik – 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, S. 96–97.