Satz von Dold

In der Mathematik ist der Satz von Dold eine Verallgemeinerung des Satzes von Borsuk-Ulam, der zahlreiche Anwendungen in der topologischen Kombinatorik besitzt.

Satz von Dold

Wenn eine stetige Abbildung

$f\colon S^{m}\to S^{n}$

äquivariant für freie Wirkungen einer nichttrivialen endlichen Gruppe auf den Sphären $S^{m}$ und $S^{n}$ ist, dann ist

$n\geq m$.

Wenn $n=m$ ist, dann ist $f$ nicht nullhomotop.

Spezialfall: Satz von Borsuk-Ulam

Wenn man $G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ und ihre Wirkung per Antipodenabbildung

$x\to -x$

auf $S^{m}$ und $S^{n}$ betrachtet, dann erhält man aus dem Satz von Dold die folgende Variante des Satzes von Borsuk-Ulam.

Für $m>n$ gibt es keine stetige Abbildung

$f\colon S^{m}\to S^{n}$,

die

$f(-x)=-f(x)$

für alle $x\in S^{m}$ erfüllt.

Verallgemeinerung

Eine nichttriviale endliche Gruppe $G$ wirke auf einem Raum $X$ und frei auf einem Raum $Y$.

Für die Dimension $n:=\mathrm {dim} (Y)$ gelte $\pi _{0}X=\pi _{1}X=\ldots =\pi _{n-1}X=\pi _{n}X=0$.

Dann gibt es keine stetige $G$-äquivariante Abbildung $f\colon X\to Y$.

Geschichte

Der Satz wurde 1983 von Albrecht Dold veröffentlicht. Die Verallgemeinerung (unter der Annahme, dass auch die Wirkung auf $X$ frei ist) wurde ebenfalls von Dold mit der Bemerkung "Essentially the same proof gives the following result." formuliert. Er bemerkte weiterhin, dass für $Y$ parakompakt und $\mathrm {dim} (Y)=1+\mathrm {conn} (X)<\infty$ eine äquivariante stetige Abbildung nicht nullhomotop sein kann.

Ein Beweis der Verallgemeinerung findet sich in .

Literatur

• Albrecht Dold: Simple proofs of some Borsuk-Ulam results. Proceedings of the Northwestern Homotopy Theory Conference (Evanston, Ill., 1982), 65–69, Contemp. Math., 19, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983. online
• Pavle Blagojević, Aleksandra Dimitrijević Blagojević, John McCleary: Spectral sequences in combinatorial geometry: cheeses, inscribed sets, and Borsuk-Ulam type theorems. Topology Appl. 158 (2011), no. 15, 1920–1936. online