Falls unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert und Standardabweichung sind, dann gilt
ist standardnormalverteilt für jedes .
Jetzt kann man folgendes schreiben
Damit man diese Identität erkennt, muss man auf beiden Seiten mit multiplizieren und beachten, dass gilt
und erweitert, um zu zeigen
Der dritte Term ist null, weil der Faktor
ist, und der zweite Term besteht nur aus identischen Termen, die zusammengefügt wurden.
Kombiniert man die obigen Ergebnisse und teilt anschließend durch , dann erhält man:
Jetzt ist der Rang von gerade gleich 1 (es ist das Quadrat von nur einer Linearkombination der standardnormalverteilten Zufallsvariablen). Der Rang von ist gleich , und daher sind die Bedingungen des Satzes von Cochran erfüllt.
Der Satz von Cochran besagt dann, dass und unabhängig sind, mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit und Freiheitsgrad.
Dies zeigt, dass der Mittelwert und die Varianz unabhängig sind; Ferner gilt
was zeigt, dass der Erwartungswert von gleich ist.
Beide Verteilungen sind proportional zur wahren aber unbekannten Varianz Daher ist ihr Verhältnis unabhängig von , und weil sie unabhängig sind, erhält man
Cochran, W. G.: The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2): 178–191, 1934.
Bapat, R. B.: Linear Algebra and Linear Models. Zweite Auflage (1990). Springer. ISBN 978-0-387-98871-9