In der Mathematik gibt der Satz von Borel-Weil eine geometrische Beschreibung der Darstellungen von Lie-Gruppen. Er ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes von Borel-Weil-Bott, der alle irreduziblen Darstellungen beschreibt.

Der Satz beschreibt die Darstellungen höchsten Gewichts halbeinfacher Lie-Gruppen, d. h., er gibt eine explizite Konstruktion der durch den Satz vom höchsten Gewicht gegebenen Darstellungen.

Konstruktion

Bearbeiten

Sei   eine halbeinfache Lie-Gruppe,   eine Borel-Untergruppe und   die Fahnenvarietät.

Zu einer 1-dimensionalen Darstellung   hat man ein Linienbündel   über   definiert durch

 
 

Die Wirkung von   auf  , den holomorphe Schnitten dieses Linienbündels, definiert durch

 

eine Darstellung von  .

Satz von Borel-Weil

Bearbeiten

Sei   eine halbeinfache Lie-Gruppe,   eine Borel-Untergruppe und   ihre Zerlegung als Produkt ihres maximalen Torus und ihres unipotenten Radikals.

Wenn die Einschränkung von   auf   ein dominantes integrales Element ist, dann ist   diejenige Darstellung von  , deren höchstes Gewicht die Einschränkung von   auf   ist.

Andernfalls ist  .

Beispiel: Darstellungen der SL(2,C)

Bearbeiten

Für   können wir als Borel-Gruppe   die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen wählen. Jede 1-dimensionale Darstellung ist von der Form

 

für eine ganze Zahl  .

Die Fahnenvarietät ist   mit homogenen Koordinaten   und die Schnitte des Linienbündels zur Darstellung   entsprechen den homogenen Polynomen vom Grad   in den Koordinaten  . Diese bilden einen (n+1)-dimensionalen Vektorraum mit Basis  . Man erhält also eine Darstellung der Dimension   und wiederentdeckt den bekannten Satz, dass es zu jeder Dimension eine eindeutige irreduzible Darstellung von   gibt.

Bearbeiten