Satz von Aoki-Rolewicz

Der Satz von Aoki-Rolewicz ist ein Resultat aus der Funktionalanalysis, welches sagt, dass jede Quasinorm äquivalent zu einer $p$-Norm ist. Dies impliziert, dass quasinormierte Räume metrisierbar sind.

Der Satz wurde unabhängig von Tosio Aoki () und Stefan Rolewicz () bewiesen.

Satz von Aoki-Rolewicz

Vorbereitungen: Quasinorm und p-Norm

Eine Norm $\|\cdot \|$ auf einem Vektorraum $X$ erfüllt die Dreiecksungleichung

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|,\;\forall x,y\in X.$

Ersetzt man dieses Axiom durch

• $\exists K\geq 1$, so dass $\|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|),\;\forall x,y\in X$, dann erhält man eine Quasinorm. $K$ nennt man auch Modulus der Konkavität.
• $\exists p\in (0,1]$, so dass $\|x+y\|^{p}\leq \|x\|^{p}+\|y\|^{p},\;\forall x,y\in X$, dann erhält man eine $p$-Norm.

Aussage

Sei $\|\cdot \|$ eine Quasinorm auf $X$ mit Modulus der Konkavität $K$, dann existiert eine äquivalente Quasinorm $\|\cdot \|_{*}$, die auch eine $p$-Norm ist, wobei $2^{1/p-1}=K$ gilt. Weiter ist

$\|\cdot \|_{*}=\inf \left\{\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)^{1/p}\mid x=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\right\}.$

Literatur

• Miroslav Pavlović: Function Classes on the Unit Disc: An Introduction, Berlin, Boston: De Gruyter, 2014, https://doi.org/10.1515/9783110281903, (Anhang A. Quasi-Banach spaces)
• Wu, Cong & Li, Yongjin.: On the Triangle Inequality in Quasi-Banach Spaces. In: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. Band 9, 2008. 
• Sylvie Monniaux, Marius Mitrea und Dorina Mitrea: Groupoid Metrization Theory: With Applications to Analysis on Quasi-Metric Spaces and Functional Analysis. Hrsg.: Birkhäuser. Niederlande 2013, S. 4. 
• Sylvie Monniaux, Marius Mitrea und Dorina Mitrea: Groupoid Metrization Theory: With Applications to Analysis on Quasi-Metric Spaces and Functional Analysis. Hrsg.: Birkhäuser. Niederlande 2013, S. 4. 
• Jesús M. F. Castillo und Félix Cabello Sánchez: Homological Methods in Banach Space Theory. Hrsg.: Cambridge University Press. 2023, S. 10.