Rotationszahl (Kontaktgeometrie)

In der Kontaktgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik ist die Rotationszahl eine Invariante von Legendre-Knoten.

Definition

Sei $(M,\xi )$ eine Kontaktmannigfaltigkeit und $L\subset M$ ein Legendre-Knoten.

Die Einschränkung von $\xi$ auf eine Seifert-Fläche ist trivialisierbar, man erhält einen Isomorphismus $\xi \mid _{L}\simeq L\times \mathbb {R} ^{2}$. Man kann die Ableitung des Legendre-Knotens $\gamma \colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ mittels der Trivialisierung als Abbildung $\gamma ^{\prime }\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ auffassen. Ihre Windungszahl ist die Rotationszahl des Legendre-Knotens.

Formeln für Rotationszahl und Thurston-Bennequin-Invariante eines Legendre-Knotens in Frontprojektion

Für die Frontprojektion kann man die Rotationszahl als ${\frac {1}{2}}(\sharp D-\sharp U)$ berechnen, wobei D die in Richtung der negativen z-Achse durchlaufenen Cusp-Singularitäten und U die in Richtung der positiven z-Achse verlaufenden Cusp-Singularitäten sind.

Für die Lagrange-Projektion kann man die Rotationszahl als Umlaufzahl berechnen.