Reziprokenregel

Die Reziprokenregel oder Kehrwertregel dient zur Ableitung von mathematischen Funktionen der Form

$f(x)={\frac {1}{v(x)}}\,.$

Ist die Funktion $v(x)$ von einem Intervall $D$ in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle $x_{a}$ mit $v(x_{a})\neq 0$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion $f$ an der Stelle $x_{a}$ differenzierbar und nach der Kettenregel gilt für die Ableitung:

$f'(x_{a})=\left[{\frac {1}{v}}\right]'(x_{a})=\left[v^{-1}\right]'(x_{a})=(-1)\cdot v^{-2}(x_{a})\cdot v'(x_{a})=-{\frac {v'(x_{a})}{(v(x_{a}))^{2}}}\,$

Die Reziprokenregel lautet damit wie folgt in Kurzschreibweise:

$\left[{\frac {1}{v}}\right]'=-{\frac {v'}{v^{2}}}\,.$

Die Reziprokenregel kann auch als ein Spezialfall der Quotientenregel mit $u(x)=1$ aufgefasst werden.

Beispiel

Die Ableitung der Funktion

$f(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$

berechnet sich an allen Stellen, an denen $\sin(x)\neq 0$ ist, nach obiger Reziprokenregel zu

$f'(x)=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}$,

denn die Kosinusfunktion ist die Ableitung der Sinusfunktion.