Quasigeodäte

In der Mathematik kommen Quasigeodäten (auch Quasi-Geodäten) in Differentialgeometrie, metrischer Geometrie und geometrischer Gruppentheorie vor. Es handelt sich um Kurven, die nicht unbedingt kürzeste Verbindungen sind, aber deren Länge nur auf kontrollierte Weise von der der kürzesten Verbindungen abweicht.

Definition

Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $I\subset \mathbb {R}$ ein (endliches oder unendliches) abgeschlossenes Intervall. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung

$c\colon I\to X$

ist eine Quasigeodäte, wenn es Konstanten $\lambda ,\epsilon >0$ gibt, so dass für alle $s,t\in I$ gilt:

${\frac {1}{\lambda }}|s-t|-\epsilon \leq d(c(s),c(t))\leq \lambda |s-t|+\epsilon$.

Mit anderen Worten: $c\colon I\to X$ ist eine quasi-isometrische Einbettung.

Beispiele

• Im $\mathbb {R} ^{n}$ oder allgemeiner in jeder einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung ist eine Geodäte immer eine Quasigeodäte.
• Die logarithmische Spirale $c(t)=(t\cos(\ln(1+t)),t\sin(\ln(1+t)))$ ist eine Quasigeodäte, denn es gilt $|s-t|\leq d(c(s),c(t))\leq (2\pi +1)|s-t|$.
• Kontrollierte Störungen einer Quasigeodäten sind wieder Quasigeodäten, mit einer evtl. anderen Konstanten $\epsilon$.

Genauer: Wenn $c$ eine Quasigeodäte ist und $d(c(t),c^{\prime }(t))<K$ für eine Konstante $K$ und alle $t\in I$ gilt, dann ist $c^{\prime }$ eine Quasigeodäte.

• Wenn $c\colon I\to X$ eine Quasigeodäte und $f\colon X\to Y$ eine quasi-isometrische Einbettung ist, dann ist $f\circ c$ eine Quasigeodäte.

Morse-Lemma

Es sei $(X,d)$ ein Gromov-hyperbolischer Raum, zum Beispiel eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung. Dann hat jede Quasigeodäte $c\colon \left[a,b\right]\to X$ endlichen Hausdorff-Abstand von der (eindeutigen) Geodäte $c^{\prime }$ durch $c(a)$ und $c(b)$.

Genauer: Zu allen $\lambda ,\epsilon ,\delta$ gibt es ein $R(\lambda ,\epsilon ,\delta )$, so dass jede $(\lambda ,\epsilon )$-Quasigeodäte in einem $\delta$-hyperbolischen Raum im Abstand $<R$ von einer Geodäten liegt.

Insbesondere, wenn $X$ $\delta$-hyperbolisch und $c$ stetig und rektifizierbar ist, dann gilt für alle $x\in im(c^{\prime })$

$d(x,im(c))\leq \delta |\log _{2}l(c)|+1$,

wobei $l(c)$ die Länge von $c$ bezeichnet.

Die analoge Aussage für CAT(0)-Räume oder Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung trifft nicht zu. Ein Gegenbeispiel ist die logarithmische Spirale im $\mathbb {R} ^{2}$.

Literatur

• Ghys, Étienne; de la Harpe, Pierre: Quasi-isométries et quasi-géodésiques. Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Bern, 1988), 79–102, Progr. Math., 83, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990.

Weblinks

• Lück: Hyperbolische Gruppen
• Wilton: Quasi-geodesics