Polynomkonvexität

mathematische Eigenschaft

Polynomkonvexität ist eine mathematische Eigenschaft von Mengen im , die in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher betrachtet wird. Sie spielt eine Rolle bei der Approximation holomorpher Funktionen durch Polynome.

Definition

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Für eine kompakte Teilmenge   heißt

 

die polynomkonvexe Hülle von  . Dabei ist   die Supremumsnorm auf  .

Eine Teilmenge   nennt man polynomkonvex, wenn für jede kompakte Teilmenge   auch   gilt.

Bemerkungen

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Sind   und   kompakte Teilmengen des  , so ist offenbar

  •  
  • Aus   folgt  
  •  .

Das rechtfertigt die Bezeichnung Hülle in Analogie zur konvexen Hülle. Diese Analogie kann man weiter treiben: Man beachte, dass die abgeschlossene konvexe Hülle einer kompakten Teilmenge   gleich der Menge aller Vektoren   ist, so dass   für alle linearen Funktionale  . In obiger Definition sind die linearen Funktionale durch Polynome ersetzt. Diese Analogie motiviert die Bezeichnungen polynomkonvexe Hülle und polynomkonvex.

Ferner zeigt diese Betrachtung, dass eine kompakte Menge   genau dann polynomkonvex ist, wenn  . Insbesondere ist eine kompakte Menge   genau dann polynomkonvex, wenn es zu jedem   ein Polynom   gibt mit

  •  
  •   für alle  .

Beispiele

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  • Ist   polynomkonvex, so ist   zusammenhängend. Im Fall   gilt hiervon die Umkehrung, im Falle   gilt ist die Umkehrung falsch.
  • Polyzylinder sind polynomkonvex.
  • Kompakte konvexe Mengen im   sind polynomkonvex.
  • Die Vereinigung zweier disjunkter konvexer Mengen im   ist polynomkonvex; für drei Mengen gilt das im Allgemeinen nicht.
  •   ist nicht polynomkonvex.

Ein Satz von Oka

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Polynomkonvexe Mengen spielen eine wichtige Rolle in der Approximation holomorpher Funktionen durch Polynome. Der eindimensionale Fall ist genau der Rungesche Approximationssatz.

Der Satz von Oka kann in folgenden Versionen wiedergegeben werden:

  • Sei   eine kompakte, polynomkonvexe Menge. Dann kann jede in einer Umgebung von   definierte holomorphe Funktionen gleichmäßig auf   durch Polynome approximiert werden.
  • Sei   ein polynomkonvexes Gebiet. Dann kann jede auf   definierte holomorphe Funktion kompakt-gleichmäßig durch Polynome approximiert werden.

Literatur

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  • Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965
  • Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973