Polynomkonvexität
Polynomkonvexität ist eine mathematische Eigenschaft von Mengen im , die in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher betrachtet wird. Sie spielt eine Rolle bei der Approximation holomorpher Funktionen durch Polynome.
Definition
BearbeitenFür eine kompakte Teilmenge heißt
die polynomkonvexe Hülle von . Dabei ist die Supremumsnorm auf .
Eine Teilmenge nennt man polynomkonvex, wenn für jede kompakte Teilmenge auch gilt.
Bemerkungen
BearbeitenSind und kompakte Teilmengen des , so ist offenbar
- Aus folgt
- .
Das rechtfertigt die Bezeichnung Hülle in Analogie zur konvexen Hülle. Diese Analogie kann man weiter treiben: Man beachte, dass die abgeschlossene konvexe Hülle einer kompakten Teilmenge gleich der Menge aller Vektoren ist, so dass für alle linearen Funktionale . In obiger Definition sind die linearen Funktionale durch Polynome ersetzt. Diese Analogie motiviert die Bezeichnungen polynomkonvexe Hülle und polynomkonvex.
Ferner zeigt diese Betrachtung, dass eine kompakte Menge genau dann polynomkonvex ist, wenn . Insbesondere ist eine kompakte Menge genau dann polynomkonvex, wenn es zu jedem ein Polynom gibt mit
- für alle .
Beispiele
Bearbeiten- Ist polynomkonvex, so ist zusammenhängend. Im Fall gilt hiervon die Umkehrung, im Falle gilt ist die Umkehrung falsch.
- Polyzylinder sind polynomkonvex.
- Kompakte konvexe Mengen im sind polynomkonvex.
- Die Vereinigung zweier disjunkter konvexer Mengen im ist polynomkonvex; für drei Mengen gilt das im Allgemeinen nicht.
- ist nicht polynomkonvex.
Ein Satz von Oka
BearbeitenPolynomkonvexe Mengen spielen eine wichtige Rolle in der Approximation holomorpher Funktionen durch Polynome. Der eindimensionale Fall ist genau der Rungesche Approximationssatz.
Der Satz von Oka kann in folgenden Versionen wiedergegeben werden:
- Sei eine kompakte, polynomkonvexe Menge. Dann kann jede in einer Umgebung von definierte holomorphe Funktionen gleichmäßig auf durch Polynome approximiert werden.
- Sei ein polynomkonvexes Gebiet. Dann kann jede auf definierte holomorphe Funktion kompakt-gleichmäßig durch Polynome approximiert werden.
Literatur
Bearbeiten- Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965
- Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973