Picard-Iteration
Als Picard-Iteration bezeichnet man in der Mathematik die von Charles Émile Picard entdeckte Fixpunktiteration zur approximativen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, die auch in dem Beweis der lokalen Version des Satzes von Picard-Lindelöf verwendet wird.
Definition Bearbeiten
Betrachte das durch
gegebene Anfangswertproblem, wobei eine stetige und im zweiten Argument lipschitzstetige Abbildung und aus einem reellen Zeitintervall ist.
Die Picard-Iteration ist dann gegeben durch
![{\displaystyle x^{[0]}(t)=x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c87d42c115f08be0366d74df8f43657f9a0110)
![{\displaystyle x^{[\ell +1]}(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,x^{[\ell ]}(s))\,ds,\quad t\in [t_{0},t_{0}+\varepsilon ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adcfc488da7716cc33cd86531fba3b238daf0336)
Die dadurch erzeugte Funktionenfolge konvergiert für hinreichend kleine gleichmäßig gegen die Lösung .
Beispiel Bearbeiten
Eine gewöhnliche Differentialgleichung sei gegeben durch
mit dem Startwert:
Zwei Schritte der Picard-Iteration lauten:
![{\displaystyle x^{[0]}(t)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c350d8eb6b02b3cdfd147aa1c3b1679284af6e)
![{\displaystyle x^{[1]}(t)=1+\int _{0}^{t}(\sin(s)-1)\,ds=2-\cos(t)-t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd1418c204ec4bce75f63925dfc9adf8c5a718d)
![{\displaystyle x^{[2]}(t)=1+\int _{0}^{t}(\sin(s)-(2-\cos(s)-s))\,ds=2-\cos(t)-2t+\sin(t)+{\frac {t^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96adc903fe004015cc9a60a5357fd6fdb35df744)
Weblinks Bearbeiten
Wikibooks: Beweisarchiv - Beweis der Behauptung – Lern- und Lehrmaterialien
