Orthodrome

Die Orthodrome (griech. orthos für „gerade“, dromos für „Lauf“) ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche, also gerade nicht durch die Kugel hindurch.

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Die Orthodrome ist eine Geodäte für den speziellen Fall einer Kugeloberfläche. Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu können. Die umgangssprachlich häufiger gebrauchte synonyme Bezeichnung ist Luftlinie.

Orthodrome auf der Erdkugel zwischen Los Angeles und London

Der kürzeste Weg auf der Kugeloberfläche zwischen Punkt A und B ist eine Orthodrome.

Berechnung

Grundlage für die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der sphärischen Trigonometrie.

Verwendete Variablen	Bedeutung
$\,\phi$	Geographische Breite
$\,\lambda$	Geographische Länge
$\,A(\phi _{A},\lambda _{A})$	Anfangspunkt
$\,B(\phi _{B},\lambda _{B})$	Endpunkt
$\,P_{N}(\phi _{N},\lambda _{N})$ $\,P_{S}(\phi _{S},\lambda _{S})$	Nördlichster oder südlichster Punkt der Orthodrome
$\,\alpha$	Kurswinkel bei A
$\,\beta$	Kurswinkel bei B
$\,\zeta$	Zentriwinkel (Strecke AB, ausgedrückt als Winkel)

Dabei ist $\,\lambda$ in Richtung Westen negativ, Richtung Osten positiv; $\,\phi$ ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.

Strecke

Als Winkel lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben:

$\,\zeta =\arccos \left(\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})+\cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})\cdot \cos(\lambda _{B}-\lambda _{A})\right)$

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss $\zeta$ noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für $\zeta$ im Bogenmaß; falls $\zeta$ in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit $\pi /180$° multipliziert werden).

Der Winkel $\zeta$ kann über das Skalarprodukt der Ortsvektoren von $A$ und $B$ berechnet werden. Die obige Formel ergibt sich dann durch Umformungen mit Hilfe geometrischer Additionstheoreme für Sinus und Kosinus. Alternativ kann die Formel hergeleitet werden, indem der Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie auf das aus den Punkten $A$ und $B$ und dem Nordpol gebildete Dreieck angewendet wird.

Kurswinkel und rechtweisende Kurse

Kurswinkel

$\alpha =\arccos \left({\frac {\sin(\phi _{B})-\sin(\phi _{A})\cdot \cos(\zeta )}{\cos(\phi _{A})\cdot \sin(\zeta )}}\right)$

$\beta =\arccos \left({\frac {\sin(\phi _{A})-\sin(\phi _{B})\cdot \cos(\zeta )}{\cos(\phi _{B})\cdot \sin(\zeta )}}\right)$

Die beiden Parameter $\alpha$ und $\beta$ lassen sich auch direkt aus den Breiten- und Längengraden $\phi _{A}$ bzw. $\phi _{B}$ und $\lambda _{A}$ bzw. $\lambda _{B}$ bestimmen:

$\alpha =\arccos \left({\frac {\cos(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})-\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{B})\cdot \sin(\phi _{A})}{\sqrt {1-(\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})+\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B}))^{2}}}}\right)$

$\beta =\arccos \left({\frac {\cos(\phi _{B})\cdot \sin(\phi _{A})-\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})}{\sqrt {1-(\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})+\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B}))^{2}}}}\right)$

rechtweisende Kurse A → B

$\,rwK_{A}=\alpha$

$\,rwK_{B}=180^{\circ }-\beta$

rechtweisende Kurse B → A

$\,rwK_{B}=360^{\circ }-\beta$

$\,rwK_{A}=180^{\circ }+\alpha$

Nördlichster oder südlichster Punkt

In einer gnomonischen Projektion werden Orthodromen stets als gerade Strecke abgebildet

Ob eine Orthodrome zwischen den Grenzpunkten einen nördlichsten oder südlichsten Punkt (Scheitelpunkt) hat, hängt vom Kurswinkel an Anfangs- und Endpunk tab. Ein nördlicher Scheitelpunkt existiert, wenn sowohl Anfangs- als auch Endpunkt einen Kurswinkel nördlich der Ost-West-Linie haben. Ein südlicher Scheitelpunkt existiert, wenn sowohl Anfangs- als auch Endpunkt einen Kurswinkel südlich der Ost-West-Linie haben. In allen anderen Fällen sind Anfangs- und Endpunkt zugleich nördlichster oder südlichser Punkt.

Die folgende Formel ist mathematisch unsauber! Es hängt auch vom Kurswinkel des Endpunkts ab! Die Orthodrome von z. B. Berlin nach Wien hat keinen Scheitelpunkt, denn sie verläuft permanent zwischen Ost und Süd.

Die Formel gibt stattdessen den nördlichsten Punkt des ganzen Großkreises wieder, egal ob Teil der Orthodrome oder nicht! Der südlichste Punkt ist die Antipode zum nördlichen

Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome eines Großkreises für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel α:

$\,\phi _{N}=\arccos \left(\sin(|\alpha _{A}|)\cdot \cos(\phi _{A})\right)$

$\lambda _{N}=\lambda _{A}+\operatorname {sgn} (\alpha _{A})\cdot \left|\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{N})}}\right)\right|$

Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin–Tokio

Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:

• Berlin
  • 52° 31′ 0″ N = 52,517°
  • 13° 24′ 0″ E = 13,40°
• Tokio
  • 35° 42′ 0″ N = 35,70°
  • 139° 46′ 0″ E = 139,767°

Winkelberechnung

$\,\phi _{A}=52{,}517^{\circ }$

$\,\lambda _{A}=13{,}40^{\circ }$

$\,\phi _{B}=35{,}70^{\circ }$

$\,\lambda _{B}=139{,}767^{\circ }$

${\begin{aligned}\,\zeta &=\arccos {\Big (}\sin(\phi _{A})\sin(\phi _{B})+\cos(\phi _{A})\cos(\phi _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A}){\Big )}\\&=\arccos {\Big (}\sin(52{,}517^{\circ })\sin(35{,}70^{\circ })+\cos(52{,}517^{\circ })\cos(35{,}70^{\circ })\cos(139{,}767^{\circ }-13{,}40^{\circ }){\Big )}\\&=\arccos(0{,}79353\cdot 0{,}58354+0{,}60853\cdot 0{,}81208\cdot (-0{,}59296))\\&=\arccos(0{,}1700)\\&=80{,}212^{\circ }\end{aligned}}$

bzw. $\,\zeta =1{,}400$ im Bogenmaß

Streckenberechnung

Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit dem Umfang 40.000 km bzw. dem Radius 6366 km ausgegangen.

${\begin{aligned}L&={\frac {\zeta }{360^{\circ }}}\cdot 40\,000\ \mathrm {km} \\&={\frac {80{,}212^{\circ }}{360^{\circ }}}\cdot 40\,000\ \mathrm {km} \\&=8912\ \mathrm {km} \end{aligned}}$

Oder für $\,\zeta$ im Bogenmaß:

${\begin{aligned}L&=\zeta \cdot 6366\ \mathrm {km} \\&=8912\ \mathrm {km} \end{aligned}}$

Das sind aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur zwei Näherungen. Die tatsächliche Entfernung zwischen den beiden angegebenen Punkten in Berlin und Tokio kann bei Verwendung des WGS84-Referenzellipsoids zu 8941,2 km genauer berechnet werden, also mit einer Abweichung von etwa 23 km oder 0,26 % im Vergleich zur zweiten Näherung.

Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde

Mit folgenden Formeln kann der Abstand zwischen zwei Standorten auf der Erde auf 50 Meter genau berechnet werden, siehe dazu auch Thaddeus Vincenty. Dabei wird keine Kugel, sondern das WGS84-Ellipsoid zugrunde gelegt. Sollten Koordinaten eines anderen Referenzellipsoids verwendet werden, müssen die Parameter $a$ (Radius) und $f$ (Abplattung) angepasst werden.

Seien $\phi _{A}$ und $\lambda _{A}$ die geografische Breite und Länge von Standort A, $\phi _{B}$ und $\lambda _{B}$ die geografische Breite und Länge von Standort B im Gradmaß. Der Abstand zwischen beiden Standorten berechnet sich wie folgt:

Abplattung der Erde: $f={\frac {1}{298{,}257\,223\,563}}$

Äquatorradius der Erde: $a=6378{,}137\ \mathrm {km}$

$F={\frac {\phi _{A}+\phi _{B}}{2}}$, $G={\frac {\phi _{A}-\phi _{B}}{2}}$, $l={\frac {\lambda _{A}-\lambda _{B}}{2}}$

Zunächst wird der grobe Abstand D ermittelt:

$S=(\sin {G})^{2}\cdot (\cos {l})^{2}+(\cos {F})^{2}\cdot (\sin {l})^{2}$

$C=(\cos {G})^{2}\cdot (\cos {l})^{2}+(\sin {F})^{2}\cdot (\sin {l})^{2}$

$w=\arctan {\sqrt {\frac {S}{C}}}$

$D=2\cdot w\cdot a$

Dabei ist $w$ im Bogenmaß einzusetzen.

Der Abstand $D$ wird durch die Faktoren $H_{1}$ und $H_{2}$ korrigiert:

$T={\frac {\sqrt {S\cdot C}}{w}}$

$H_{1}={\frac {3\cdot T-1}{2\cdot C}}$

$H_{2}={\frac {3\cdot T+1}{2\cdot S}}$

Der Abstand $s$ in Kilometern berechnet sich abschließend wie folgt:

$s=D\cdot \left(1+f\cdot H_{1}\cdot (\sin {F})^{2}\cdot (\cos {G})^{2}-f\cdot H_{2}\cdot (\cos {F})^{2}\cdot (\sin {G})^{2}\right)$

Berechnungsbeispiel Berlin – Tokio

${\begin{array}{lcl}\phi _{A}&=&52{,}516666666666667^{\circ }\\\lambda _{A}&=&13{,}400^{\circ }\\\phi _{B}&=&35{,}700^{\circ }\\\lambda _{B}&=&139{,}766666666666667^{\circ }\\\\f&=&0{,}00335281066474748\\a&=&6378{,}137\ \mathrm {km} \\F&=&44{,}108333333333333^{\circ }\\G&=&8{,}408333333333333^{\circ }\\l&=&-63{,}183333333333333^{\circ }\\S&=&0{,}41498261872684\\C&=&0{,}58501738127316\\w&=&0{,}699965690768276\\D&=&8928{,}9541420394\ \mathrm {km} \\T&=&0{,}70391883329502\\H_{1}&=&0{,}95019099899696\\H_{2}&=&3{,}74926124548527\\\\s&=&8941{,}20250458698\ \mathrm {km} \end{array}}$

Der Abstand $s$ ist also auf etwa 50 m genau zu 8.941,2 km bestimmt worden.

Loxodrome

Gegenüberstellung von Loxodrome (rot) und Orthodrome (blau) in Mercatorkarte, mit Weglängen in Kilometern.

Weg	Lox.	Orth.	Diff.
NY-MO	8359 km	7511 km	10,1 %
NY-DA	6207 km	6150 km	00,9 %
DA-MO	6596 km	6509 km	01,3 %

Loxodromeverlängerung relativ zur Orthodrome entlang des 50. Breitengrades in Prozent.

Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser, da sie die Meridiane immer im gleichen Winkel kreuzt, man also den einmal eingestellten (Kompass-)Kurs einfach beibehalten kann.

Bei kurzen Strecken ist eine Loxodrome nur unwesentlich länger als eine Orthodrome. Bei hoher Breite und bei Entfernungen unterhalb von 30 Längengraden liegt der relative Längenunterschied bei weniger als 1 %. Danach steigt er deutlich an. Eine Reise entlang des 50. Breitengrades über 180 Längengrade ist 45 % länger als der Weg über einen Großkreis, der dann über den Pol verläuft.

Siehe auch

• Geodätische Linie (Geodäte)
• Abweitung

Weblinks

• Berechnung von Entfernung und Anfangskurs für beliebige Rotationsellipsoide (englisch)
• Great Circle Mapper – Great Circle mapper including ETOPS ranges (englisch)
• Erweitertes Messwerkzeug − mit Vergleich von Orthodrome und Loxodrome zwischen zwei Punkten auf OSM-Weltkarte
• Entfernungsberechnung zwischen zwei Orten der Erde – auf Basis einer idealen Kugel mit einem Radius von 6378,388 km.
• Ausführliche Grosskreisberechnung für die Praxis (englisch) - Orthodrome und Loxodrome Distanz, Anfangs und Endkurs, Mischsegeln, Etmal, Meridianschnittpunkte

Quellen

Formel zur genaueren Abstandsberechnung:

• J. Meeus: Astronomical Algorithms. , Astronomische Algorithmen (Deutsch) 2. Auflage. Willmann-Bell, Richmond 2000, ISBN 0-943396-61-1, S. 85.

• Loxodrome