Nukleare C*-Algebra

Die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachteten nuklearen C*-Algebren bilden eine große Klasse von C*-Algebren, die wichtige Teilklassen umfasst. Die nuklearen C*-Algebren sind im Zusammenhang mit Eindeutigkeitsfragen bezüglich Tensorprodukten eingeführt worden; daher rührt auch der Name nuklear, der in Anspielung auf die nuklearen Räume aus der Theorie der lokalkonvexen Räume gewählt wurde.

Definition

Sind $A$ und $B$ zwei C*-Algebren, so kann man auf dem algebraischen Tensorprodukt $A\odot B$ auf mehrere Arten eine C*-Norm $\alpha$ definieren, das heißt eine Norm $\alpha$, so dass

• $(A\odot B,\alpha )$ ist eine normierte Algebra
• $\alpha (s^{*}s)\,=\,\alpha (s)^{2}$ für alle $s\in A\odot B$

gilt. Eine C*-Algebra $A$ heißt nuklear, wenn es für jede C*-Algebra $B$ genau eine solche C*-Norm auf $A\odot B$ gibt.

Da es auf $A\odot B$ stets eine minimale C*-Norm, nämlich die Norm des räumlichen Tensorproduktes, und eine maximale C*-Norm gibt, bedeutet die Nuklearität für eine C*-Algebra $A$, dass für jede C*-Algebra $B$ die minimale und maximale C*-Norm auf $A\odot B$ zusammenfallen. M. Takesaki sprach in diesem Zusammenhang von C*-Algebren mit der Eigenschaft T, die Bezeichnung nukleare C*-Algebra geht auf C. Lance zurück.

Beispiele

• Kommutative C*-Algebren sind nuklear. Das eindeutig bestimmte Tensorprodukt fällt in diesem Fall mit dem injektiven Tensorprodukt zusammen.

• Allgemeiner sind alle postliminalen C*-Algebren nuklear, wie bereits in der unten erwähnten Arbeit von Takesaki gezeigt wurde.

• Endlich-dimensionale C*-Algebren sind nuklear, denn diese sind endliche direkte Summen von Matrix-Algebren $M_{n}$ und es ist $M_{n}\otimes B\cong M_{n}(B)$ für jede C*-Algebra $B$ mit der im Artikel über das räumliche Tensorprodukt beschriebenen Norm auf $M_{n}(B)$.

• Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra $C_{r}^{*}(G)$ einer zusammenhängenden oder mittelbaren Gruppe $G$ ist nuklear. Für diskrete Gruppen gilt nach einem Satz von C. Lance auch die Umkehrung: Für eine diskrete Gruppe ist $C_{r}^{*}(G)$ genau dann nuklear, wenn $G$ mittelbar ist.

• $C^{*}(F_{2}),C_{r}^{*}(F_{2})$ und $L(\ell ^{2})$ sind Beispiele für C*-Algebren, die nicht nuklear sind, wobei $F_{2}$ die von 2 Elementen erzeugte freie Gruppe und $\ell ^{2}$ der Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen ist.

Eigenschaften

• Abgeschlossene zweiseitige Ideal und Quotienten nuklearer C*-Algebren sind wieder nuklear.

• Ist umgekehrt $0\rightarrow J\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz von C*-Algebren mit nuklearen $J$ und $B$, so ist auch $A$ nuklear.

• Unter-C*-Algebren nuklearer C*-Algebren sind im Allgemeinen nicht wieder nuklear. Genau dann sind alle Unter-C*-Algebren einer nuklearen C*-Algebra wieder nuklear, wenn die C*-Algebra postliminal ist.

• Induktive Limiten von nuklearen C*-Algebren sind wieder nuklear, daher sind alle AF-C*-Algebren nuklear.

• Ist $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System mit einer nuklearen C*-Algebra $A$ und einer mittelbaren Gruppe $G$, so ist auch das verschränkte Produkt $A\ltimes _{\alpha }G$ nuklear. Insbesondere sind die irrationalen Rotationsalgebren nuklear.

• Eine C*-Algebra $A$ ist genau dann nuklear, wenn die Identität $\mathrm {id} _{A}$ punktweiser Normlimes vollständig positiver, 1-beschränkter Operatoren endlichen Ranges ist, das heißt, es gibt ein Netz $(P_{i})_{i\in I}$ vollständig positiver Operatoren mit $\mathrm {dim} P_{i}(A)<\infty$ und $\|P_{i}\|\leq 1$ für alle $i\in I$ und $\textstyle \lim _{i\in I}\|P_{i}(a)-a\|=0$ für alle $a\in A$.

• Eine Von-Neumann-Algebra heißt hyperfinit, wenn sie eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler *-Algebren enthält, deren Vereinigung bezüglich der schwachen Operatortopologie dicht liegt. Eine C*-Algebra ist genau dann nuklear, wenn ihre einhüllende Von-Neumann-Algebra hyperfinit ist. Siehe für weitere äquivalente Charakterisierungen.