Für die Newton-Cotes-Formel folgt dann:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
∫
a
b
p
n
(
x
)
d
x
=
(
b
−
a
)
∑
i
=
0
n
w
i
f
(
x
i
)
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int \limits _{a}^{b}p_{n}(x)\,dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})}
mit den Gewichten
w
i
=
1
b
−
a
∫
a
b
l
i
(
x
)
d
x
{\displaystyle w_{i}={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx}
Die Gewichte sind symmetrisch, das heißt
w
n
−
i
=
w
i
{\displaystyle w_{n-i}=w_{i}}
.
l
i
(
x
)
=
∏
0
≤
j
≤
n
j
≠
i
x
−
x
j
x
i
−
x
j
=
(
x
−
x
0
)
⋯
(
x
−
x
i
−
1
)
(
x
−
x
i
+
1
)
⋯
(
x
−
x
n
)
(
x
i
−
x
0
)
⋯
(
x
i
−
x
i
−
1
)
(
x
i
−
x
i
+
1
)
⋯
(
x
i
−
x
n
)
{\displaystyle l_{i}(x)=\prod _{\begin{smallmatrix}0\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}={\frac {(x-x_{0})\dotsm (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dotsm (x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})\dotsm (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\dotsm (x_{i}-x_{n})}}}
Wegen der speziellen Wahl der Stützstellen integrieren die Quadraturformeln bei ungeradem
n
{\displaystyle n}
Polynome bis zum Grad
n
{\displaystyle n}
, bei geradem
n
{\displaystyle n}
sogar bis zum Grad
n
+
1
{\displaystyle n+1}
exakt. Somit sind Quadraturformeln mit geradem
n
{\displaystyle n}
(also einer ungeraden Anzahl an Stützstellen) denen mit ungeradem
n
{\displaystyle n}
vorzuziehen. Diese Eigenschaft nennt man auch den Genauigkeitsgrad der Quadraturformel.
Speziell gilt für
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1}
, dass
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
1
d
x
=
b
−
a
=
(
b
−
a
)
∑
i
=
0
n
w
i
⋅
1
=
(
b
−
a
)
∑
i
=
0
n
w
i
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=b-a=(b-a)\sum _{i=0}^{n}w_{i}\cdot 1=(b-a)\sum _{i=0}^{n}w_{i}}
und somit
∑
i
=
0
n
w
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}w_{i}=1}
.
Falls
∑
i
=
0
n
|
w
i
|
>
∑
i
=
0
n
w
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}|w_{i}|>\sum _{i=0}^{n}w_{i}=1}
, was bei Gewichten mit verschiedenen Vorzeichen der Fall ist, besteht die Gefahr, dass sich die Rundungsfehler aufschaukeln oder Auslöschung eintritt. Daher sind aus numerischen Gründen Quadraturformeln mit positiven Gewichten zu bevorzugen. Da für großes
n
{\displaystyle n}
das Interpolationspolynom
p
n
(
x
)
{\displaystyle p_{n}(x)}
unbrauchbar ist, sind ebenso Quadraturformeln mit großem
n
{\displaystyle n}
nicht empfehlenswert. Will man bessere Näherungen erreichen, so empfiehlt sich die Verwendung von summierten Quadraturformeln.
E
(
f
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
−
∫
a
b
p
n
(
x
)
d
x
{\displaystyle E(f)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx-\int \limits _{a}^{b}p_{n}(x)\,dx}
ist der Fehler (Verfahrensfehler), der bei der Anwendung der Quadraturformel gemacht wird. Dieser hat bei der speziellen Wahl der Stützstellen für
(
p
+
1
)
{\displaystyle (p+1)}
-mal auf
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
stetig differenzierbar reellwertige Funktionen
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
immer die Form
E
(
f
)
=
K
⋅
f
(
p
+
1
)
(
ξ
)
{\displaystyle E(f)=K\cdot f^{(p+1)}(\xi )}
,
wobei
K
{\displaystyle K}
eine von
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
unabhängige Konstante und
ξ
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \xi \in [a,b]}
ein nur in Ausnahmefällen bekannter Zwischenwert ist. Wäre er generell bekannt, könnte man
E
(
f
)
{\displaystyle E(f)}
und somit auch das Integral exakt ausrechnen, im Widerspruch zu der Tatsache, dass es unendlich viele Integrale gibt, die man nicht exakt berechnen kann. Der Fehler ist Null für alle Funktionen, deren
(
p
+
1
)
{\displaystyle (p+1)}
-te Ableitung Null ist, also für alle Polynome vom Grad kleiner/gleich
p
{\displaystyle p}
. Somit ist
p
{\displaystyle p}
der Genauigkeitsgrad der Quadraturformel. Der Wert
p
+
1
{\displaystyle p+1}
wird auch als (polynomiale) Ordnung der Quadraturformel bezeichnet.
Mit Hilfe des Verfahrensfehlers erhält man die Fehlerabschätzung:
|
E
(
f
)
|
≤
|
K
|
⋅
max
a
≤
ξ
≤
b
|
f
(
p
+
1
)
(
ξ
)
|
{\displaystyle |E(f)|\leq |K|\cdot \max _{a\leq \xi \leq b}\left|f^{(p+1)}(\xi )\right|}
.
Der exakte Fehler ist immer kleiner/gleich als diese Fehlerabschätzung, wie auch die unten angegebenen Beispiele zeigen.
Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln
Bearbeiten
Die angegebenen Stützstellen
t
i
{\displaystyle t_{i}}
gelten für das Integrationsintervall
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
:
t
0
=
0
,
t
i
=
i
n
,
t
n
=
1
{\displaystyle t_{0}=0,t_{i}={\frac {i}{n}},t_{n}=1}
. Für ein allgemeines Intervall
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
sind die Stützstellen
x
i
=
a
+
t
i
⋅
(
b
−
a
)
{\displaystyle x_{i}=a+t_{i}\cdot (b-a)}
.
n
{\displaystyle n}
Name
Stützstellen
t
i
{\displaystyle t_{i}}
Gewichte
w
i
{\displaystyle w_{i}}
E
(
f
)
{\displaystyle E(f)}
1
Trapezregel Sehnentrapezregel
0
1
{\displaystyle 0\quad 1}
1
2
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\quad {\frac {1}{2}}}
−
(
b
−
a
)
3
12
f
″
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12}}f''(\xi )}
2
Simpson-Regel Keplersche Fassregel
0
1
2
1
{\displaystyle 0\quad {\frac {1}{2}}\quad 1}
1
6
4
6
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}\quad {\frac {4}{6}}\quad {\frac {1}{6}}}
−
(
b
−
a
2
)
5
90
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )}
3
3/8-Regel Pulcherrima
0
1
3
2
3
1
{\displaystyle 0\quad {\frac {1}{3}}\quad {\frac {2}{3}}\quad 1}
1
8
3
8
3
8
1
8
{\displaystyle {\frac {1}{8}}\quad {\frac {3}{8}}\quad {\frac {3}{8}}\quad {\frac {1}{8}}}
−
3
(
b
−
a
3
)
5
80
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {3\left({\frac {b-a}{3}}\right)^{5}}{80}}f^{(4)}(\xi )}
4
Milne -Regel Boole -Regel
0
1
4
2
4
3
4
1
{\displaystyle 0\quad {\frac {1}{4}}\quad {\frac {2}{4}}\quad {\frac {3}{4}}\quad 1}
7
90
32
90
12
90
32
90
7
90
{\displaystyle {\frac {7}{90}}\quad {\frac {32}{90}}\quad {\frac {12}{90}}\quad {\frac {32}{90}}\quad {\frac {7}{90}}}
−
8
(
b
−
a
4
)
7
945
f
(
6
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {8\left({\frac {b-a}{4}}\right)^{7}}{945}}f^{(6)}(\xi )}
5
6-Punkt-Regel
0
1
5
2
5
3
5
4
5
1
{\displaystyle 0\quad {\frac {1}{5}}\quad {\frac {2}{5}}\quad {\frac {3}{5}}\quad {\frac {4}{5}}\quad 1}
19
288
75
288
50
288
50
288
75
288
19
288
{\displaystyle {\frac {19}{288}}\quad {\frac {75}{288}}\quad {\frac {50}{288}}\quad {\frac {50}{288}}\quad {\frac {75}{288}}\quad {\frac {19}{288}}}
−
275
(
b
−
a
5
)
7
12
096
f
(
6
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {275\left({\frac {b-a}{5}}\right)^{7}}{12\,096}}f^{(6)}(\xi )}
6
Weddle-Regel (nach Thomas Weddle , 1817–1853)[1]
0
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
1
{\displaystyle 0\quad {\frac {1}{6}}\quad {\frac {2}{6}}\quad {\frac {3}{6}}\quad {\frac {4}{6}}\quad {\frac {5}{6}}\quad 1}
41
840
216
840
27
840
272
840
27
840
216
840
41
840
{\displaystyle {\frac {41}{840}}\quad {\frac {216}{840}}\quad {\frac {27}{840}}\quad {\frac {272}{840}}\quad {\frac {27}{840}}\quad {\frac {216}{840}}\quad {\frac {41}{840}}}
−
9
(
b
−
a
6
)
9
1400
f
(
8
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {9\left({\frac {b-a}{6}}\right)^{9}}{1400}}f^{(8)}(\xi )}
Die gekürzten Werte aller Gewichte bis
n
=
10
{\displaystyle n=10}
betragen:[2]
n=1: {1/2, 1/2}
n=2: {1/6, 2/3, 1/6}
n=3: {1/8, 3/8, 3/8, 1/8}
n=4: {7/90, 16/45, 2/15, 16/45, 7/90}
n=5: {19/288, 25/96, 25/144, 25/144, 25/96, 19/288}
n=6: {41/840, 9/35, 9/280, 34/105, 9/280, 9/35, 41/840}
n=7: {751/17280, 3577/17280, 49/640, 2989/17280, 2989/17280, 49/640, 3577/17280, 751/17280}
n=8: {989/28350, 2944/14175, -464/14175, 5248/14175, -454/2835, 5248/14175, -464/14175, 2944/14175, 989/28350}
n=9: {2857/89600, 15741/89600, 27/2240, 1209/5600, 2889/44800, 2889/44800, 1209/5600, 27/2240, 15741/89600, 2857/89600}
n=10: {16067/598752 , 26575/149688 , -16175/199584 , 5675/12474 , -4825/11088 , 17807/24948 , -4825/11088 , 5675/12474 , -16175/199584 , 26575/149688 , 16067/598752}
Für
n
=
8
{\displaystyle n=8}
gilt
w
i
<
0
{\displaystyle w_{i}<0}
für
i
=
2
,
4
,
6
{\displaystyle i=2,4,6}
und
∑
i
=
0
n
|
w
i
|
=
1
,
45
…
{\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{n}|w_{i}|=1{,}45\dotso }
Für
n
=
10
{\displaystyle n=10}
gilt
∑
i
=
0
n
|
w
i
|
=
3,064
79477312810646143979477312810
…
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}|w_{i}|=3{,}06479477312810646143979477312810\dotso }
Beispiel:
∫
1
3
1
x
d
x
=
ln
(
3
)
−
ln
(
1
)
=
ln
(
3
)
=
1,098
61
23
…
{\displaystyle \int \limits _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(3)-\ln(1)=\ln(3)=1{,}09861\,23\dotso }
Näherung mit Simpson-Regel (
n
=
2
{\displaystyle n=2}
). Es gilt
h
=
b
−
a
n
=
2
2
=
1
{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}={\frac {2}{2}}=1}
und
x
0
=
a
=
1
{\displaystyle x_{0}=a=1}
.
∫
1
3
p
2
(
x
)
d
x
=
2
⋅
(
1
6
f
(
1
)
+
4
6
f
(
2
)
+
1
6
f
(
3
)
)
=
2
⋅
(
1
6
⋅
1
+
4
6
⋅
1
2
+
1
6
⋅
1
3
)
=
10
9
=
1
,
1
¯
{\displaystyle \int \limits _{1}^{3}p_{2}(x)\,dx=2\cdot \left({\frac {1}{6}}f(1)+{\frac {4}{6}}f(2)+{\frac {1}{6}}f(3)\right)=2\cdot \left({\frac {1}{6}}\cdot 1+{\frac {4}{6}}\cdot {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{3}}\right)={\frac {10}{9}}=1{,}{\overline {1}}}
Verfahrensfehler: Mit
f
(
4
)
(
ξ
)
=
4
!
ξ
5
{\displaystyle f^{(4)}(\xi )={\frac {4!}{\xi ^{5}}}}
erhält man
E
(
f
)
=
−
1
90
⋅
(
2
2
)
5
⋅
4
!
ξ
5
=
−
4
15
⋅
1
ξ
5
{\displaystyle E(f)=-{\frac {1}{90}}\cdot \left({\frac {2}{2}}\right)^{5}\cdot {\frac {4!}{\xi ^{5}}}=-{\frac {4}{15}}\cdot {\frac {1}{\xi ^{5}}}}
mit
ξ
∈
[
1
,
3
]
{\displaystyle \xi \in [1,3]}
Fehlerabschätzung:
|
E
(
f
)
|
≤
4
15
⋅
max
1
≤
ξ
≤
3
|
1
ξ
5
|
=
4
15
⋅
1
1
=
0
,
2
6
¯
{\displaystyle |E(f)|\leq {\frac {4}{15}}\cdot \max _{1\leq \xi \leq 3}\left|{\frac {1}{\xi ^{5}}}\right|={\frac {4}{15}}\cdot {\frac {1}{1}}=0{,}2{\overline {6}}}
Exakter Fehler:
|
E
(
f
)
|
=
|
∫
1
3
1
x
d
x
−
∫
1
3
p
2
(
x
)
d
x
|
=
|
1,098
61
23
…
−
1
,
1
¯
|
=
0,012
49
88
…
<
0
,
2
6
¯
{\displaystyle |E(f)|=\left|\int \limits _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx-\int \limits _{1}^{3}p_{2}(x)\,dx\right|=\left|1{,}09861\,23\dotso -1{,}{\overline {1}}\right|=0{,}01249\,88\dotso <0{,}2{\overline {6}}}
Offene Newton-Cotes-Formeln
Bearbeiten
Die Stützstellen
t
i
{\displaystyle t_{i}}
gelten für das Integrationsintervall
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
:
t
0
=
1
n
+
2
,
t
i
=
i
+
1
n
+
2
,
t
n
=
n
+
1
n
+
2
{\displaystyle t_{0}={\tfrac {1}{n+2}},t_{i}={\tfrac {i+1}{n+2}},t_{n}={\tfrac {n+1}{n+2}}}
. Für ein allgemeines Intervall
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
sind die Stützstellen
x
i
=
a
+
t
i
⋅
(
b
−
a
)
{\displaystyle x_{i}=a+t_{i}\cdot (b-a)}
.
n
{\displaystyle n}
Name
Stützstellen
t
i
{\displaystyle t_{i}}
Gewichte
w
i
{\displaystyle w_{i}}
E
(
f
)
{\displaystyle E(f)}
0
Rechteckregel Mittelpunktsregel Tangententrapezregel
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1
{\displaystyle 1\quad }
(
b
−
a
)
3
24
f
″
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )}
1
1
3
2
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}\quad {\frac {2}{3}}}
1
2
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\quad {\frac {1}{2}}}
3
(
b
−
a
3
)
3
4
f
″
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {3\left({\frac {b-a}{3}}\right)^{3}}{4}}f''(\xi )}
2
1
4
2
4
3
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}\quad {\frac {2}{4}}\quad {\frac {3}{4}}}
2
3
−
1
3
2
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}\quad -{\frac {1}{3}}\quad {\frac {2}{3}}}
14
(
b
−
a
4
)
5
45
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {14\left({\frac {b-a}{4}}\right)^{5}}{45}}f^{(4)}(\xi )}
3
1
5
2
5
3
5
4
5
{\displaystyle {\frac {1}{5}}\quad {\frac {2}{5}}\quad {\frac {3}{5}}\quad {\frac {4}{5}}}
11
24
1
24
1
24
11
24
{\displaystyle {\frac {11}{24}}\quad {\frac {1}{24}}\quad {\frac {1}{24}}\quad {\frac {11}{24}}}
95
(
b
−
a
5
)
5
144
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {95\left({\frac {b-a}{5}}\right)^{5}}{144}}f^{(4)}(\xi )}
4
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}\quad {\frac {2}{6}}\quad {\frac {3}{6}}\quad {\frac {4}{6}}\quad {\frac {5}{6}}}
11
20
−
14
20
26
20
−
14
20
11
20
{\displaystyle {\frac {11}{20}}\quad -{\frac {14}{20}}\quad {\frac {26}{20}}\quad -{\frac {14}{20}}\quad {\frac {11}{20}}}
41
(
b
−
a
6
)
7
140
f
(
6
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {41\left({\frac {b-a}{6}}\right)^{7}}{140}}f^{(6)}(\xi )}
5
1
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
{\displaystyle {\frac {1}{7}}\quad {\frac {2}{7}}\quad {\frac {3}{7}}\quad {\frac {4}{7}}\quad {\frac {5}{7}}\quad {\frac {6}{7}}}
611
1440
−
453
1440
562
1440
562
1440
−
453
1440
611
1440
{\displaystyle {\frac {611}{1440}}\quad -{\frac {453}{1440}}\quad {\frac {562}{1440}}\quad {\frac {562}{1440}}\quad -{\frac {453}{1440}}\quad {\frac {611}{1440}}}
5257
(
b
−
a
7
)
7
8640
f
(
6
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {5257\left({\frac {b-a}{7}}\right)^{7}}{8640}}f^{(6)}(\xi )}
6
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
{\displaystyle {\frac {1}{8}}\quad {\frac {2}{8}}\quad {\frac {3}{8}}\quad {\frac {4}{8}}\quad {\frac {5}{8}}\quad {\frac {6}{8}}\quad {\frac {7}{8}}}
460
945
−
954
945
2196
945
−
2459
945
2196
945
−
954
945
460
945
{\displaystyle {\frac {460}{945}}\quad -{\frac {954}{945}}\quad {\frac {2196}{945}}\quad -{\frac {2459}{945}}\quad {\frac {2196}{945}}\quad -{\frac {954}{945}}\quad {\frac {460}{945}}}
3956
(
b
−
a
8
)
9
14
175
f
(
8
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {3956\left({\frac {b-a}{8}}\right)^{9}}{14\,175}}f^{(8)}(\xi )}
Für
n
=
5
{\displaystyle n=5}
gilt
∑
i
=
0
n
|
w
i
|
=
3252
1440
=
2,258
33
3
…
{\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{n}|w_{i}|={\frac {3252}{1440}}=2{,}25833\,3\dotso }
Für
n
=
6
{\displaystyle n=6}
gilt
∑
i
=
0
n
|
w
i
|
=
9679
945
=
10
,
24
…
{\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{n}|w_{i}|={\frac {9679}{945}}=10{,}24\dotso }
Von diesen Formeln ist nur die Rechteckregel empfehlenswert. Die Formel für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
hat bei höherem Aufwand die gleiche Ordnung wie die Rechteckregel, die höheren Formeln haben negative Gewichte.
Beispiel:
∫
1
3
1
x
d
x
=
ln
(
3
)
−
ln
(
1
)
=
ln
(
3
)
=
1,098
61
23
…
{\displaystyle \int \limits _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(3)-\ln(1)=\ln(3)=1{,}09861\,23\dotso }
Näherung mit der Formel für
n
=
2
{\displaystyle n=2}
. Es gilt
h
=
b
−
a
n
+
2
=
2
4
=
1
2
{\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}
und
x
0
=
a
+
h
=
3
2
{\displaystyle x_{0}=a+h={\frac {3}{2}}}
.
∫
1
3
p
2
(
x
)
d
x
=
2
⋅
(
2
3
f
(
3
2
)
−
1
3
f
(
4
2
)
+
2
3
f
(
5
2
)
)
=
2
⋅
(
2
3
⋅
2
3
−
1
3
⋅
2
4
+
2
3
⋅
2
5
)
=
49
45
=
1
,
0
8
¯
{\displaystyle \int \limits _{1}^{3}p_{2}(x)\,dx=2\cdot \left({\frac {2}{3}}f\!\left({\frac {3}{2}}\right)-{\frac {1}{3}}f\!\left({\frac {4}{2}}\right)+{\frac {2}{3}}f\!\left({\frac {5}{2}}\right)\right)=2\cdot \left({\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{4}}+{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{5}}\right)={\frac {49}{45}}=1{,}0{\overline {8}}}
.
Verfahrensfehler: Mit
f
(
4
)
(
ξ
)
=
4
!
ξ
5
{\displaystyle f^{(4)}(\xi )={\frac {4!}{\xi ^{5}}}}
erhält man
E
(
f
)
=
14
45
⋅
(
2
4
)
5
⋅
4
!
ξ
5
=
7
30
⋅
1
ξ
5
{\displaystyle E(f)={\frac {14}{45}}\cdot \left({\frac {2}{4}}\right)^{5}\cdot {\frac {4!}{\xi ^{5}}}={\frac {7}{30}}\cdot {\frac {1}{\xi ^{5}}}}
mit
ξ
∈
[
1
,
3
]
{\displaystyle \xi \in [1,3]}
.
Fehlerabschätzung:
|
E
(
f
)
|
≤
7
30
⋅
max
1
≤
ξ
≤
3
|
1
ξ
5
|
=
7
30
⋅
1
1
=
0
,
2
3
¯
{\displaystyle |E(f)|\leq {\frac {7}{30}}\cdot \max _{1\leq \xi \leq 3}\left|{\frac {1}{\xi ^{5}}}\right|={\frac {7}{30}}\cdot {\frac {1}{1}}=0{,}2{\overline {3}}}
Exakter Fehler:
|
E
(
f
)
|
=
|
∫
1
3
1
x
d
x
−
∫
1
3
p
2
(
x
)
d
x
|
=
|
1,098
61
23
…
−
1
,
0
8
¯
|
=
0,009
72
33997
79
…
<
0
,
2
3
¯
{\displaystyle |E(f)|=\left|\int \limits _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx-\int \limits _{1}^{3}p_{2}(x)\,dx\right|=\left|1{,}09861\,23\dotso -1{,}0{\overline {8}}\right|=0{,}00972\,33997\,79\dotso <0{,}2{\overline {3}}}
Maclaurin-Quadraturformeln
Bearbeiten
Diese Formeln sind nach Colin Maclaurin benannt. Die Stützstellen
t
i
{\displaystyle t_{i}}
gelten für das Integrationsintervall
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
:
t
0
=
1
2
n
+
2
,
t
i
=
2
i
+
1
2
n
+
2
,
t
n
=
2
n
+
1
2
n
+
2
{\displaystyle t_{0}={\tfrac {1}{2n+2}},t_{i}={\tfrac {2i+1}{2n+2}},t_{n}={\tfrac {2n+1}{2n+2}}}
. Für ein allgemeines Intervall
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
sind die Stützstellen
x
i
=
a
+
t
i
⋅
(
b
−
a
)
{\displaystyle x_{i}=a+t_{i}\cdot (b-a)}
.
n
{\displaystyle n}
Name
Stützstellen
t
i
{\displaystyle t_{i}}
Gewichte
w
i
{\displaystyle w_{i}}
E
(
f
)
{\displaystyle E(f)}
0
Rechteckregel Mittelpunktsregel Tangententrapezregel
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1
{\displaystyle 1\quad }
(
b
−
a
)
3
24
f
″
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )}
1
1
4
3
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}\quad {\frac {3}{4}}}
1
2
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\quad {\frac {1}{2}}}
(
b
−
a
2
)
3
12
f
″
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}}{12}}f''(\xi )}
2
1
6
1
2
5
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}\quad {\frac {1}{2}}\quad {\frac {5}{6}}}
3
8
2
8
3
8
{\displaystyle {\frac {3}{8}}\quad {\frac {2}{8}}\quad {\frac {3}{8}}}
21
(
b
−
a
3
)
5
640
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {21\left({\frac {b-a}{3}}\right)^{5}}{640}}f^{(4)}(\xi )}
3
1
8
3
8
5
8
7
8
{\displaystyle {\frac {1}{8}}\quad {\frac {3}{8}}\quad {\frac {5}{8}}\quad {\frac {7}{8}}}
13
48
11
48
11
48
13
48
{\displaystyle {\frac {13}{48}}\quad {\frac {11}{48}}\quad {\frac {11}{48}}\quad {\frac {13}{48}}}
103
(
b
−
a
4
)
5
1440
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {103\left({\frac {b-a}{4}}\right)^{5}}{1440}}f^{(4)}(\xi )}
4
1
10
3
10
5
10
7
10
9
10
{\displaystyle {\frac {1}{10}}\quad {\frac {3}{10}}\quad {\frac {5}{10}}\quad {\frac {7}{10}}\quad {\frac {9}{10}}}
275
1152
100
1152
402
1152
100
1152
275
1152
{\displaystyle {\frac {275}{1152}}\quad {\frac {100}{1152}}\quad {\frac {402}{1152}}\quad {\frac {100}{1152}}\quad {\frac {275}{1152}}}
5575
(
b
−
a
5
)
7
193
536
f
(
6
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {5575\left({\frac {b-a}{5}}\right)^{7}}{193\,536}}f^{(6)}(\xi )}
Für
n
=
6
{\displaystyle n=6}
gilt
∑
i
=
0
n
|
w
i
|
=
1,363
…
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}|w_{i}|=1{,}363\dotso }
Für
n
=
8
{\displaystyle n=8}
gilt
∑
i
=
0
n
|
w
i
|
=
3,433
…
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}|w_{i}|=3{,}433\dotso }
Beispiel:
∫
1
3
1
x
d
x
=
ln
(
3
)
−
ln
(
1
)
=
ln
(
3
)
=
1,098
61
23
…
{\displaystyle \int \limits _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(3)-\ln(1)=\ln(3)=1{,}09861\,23\dotso }
Näherung mit der Formel für
n
=
2
{\displaystyle n=2}
. Es gilt
h
=
b
−
a
n
+
1
=
2
3
{\displaystyle h={\frac {b-a}{n+1}}={\frac {2}{3}}}
und
x
0
=
a
+
h
2
=
4
3
{\displaystyle x_{0}=a+{\frac {h}{2}}={\frac {4}{3}}}
.
∫
1
3
p
2
(
x
)
d
x
=
2
⋅
(
3
8
f
(
4
3
)
+
2
8
f
(
6
3
)
+
3
8
f
(
8
3
)
)
=
2
⋅
(
3
8
⋅
3
4
+
2
8
⋅
3
6
+
3
8
⋅
3
8
)
=
105
96
=
1,093
75
{\displaystyle \int \limits _{1}^{3}p_{2}(x)\,dx=2\cdot \left({\frac {3}{8}}f\!\left({\frac {4}{3}}\right)+{\frac {2}{8}}f\!\left({\frac {6}{3}}\right)+{\frac {3}{8}}f\!\left({\frac {8}{3}}\right)\right)=2\cdot \left({\frac {3}{8}}\cdot {\frac {3}{4}}+{\frac {2}{8}}\cdot {\frac {3}{6}}+{\frac {3}{8}}\cdot {\frac {3}{8}}\right)={\frac {105}{96}}=1{,}09375}
Verfahrensfehler: Mit
f
(
4
)
(
ξ
)
=
4
!
ξ
5
{\displaystyle f^{(4)}(\xi )={\frac {4!}{\xi ^{5}}}}
erhält man
E
(
f
)
=
21
640
⋅
(
2
3
)
5
⋅
4
!
ξ
5
=
14
135
⋅
1
ξ
5
{\displaystyle E(f)={\frac {21}{640}}\cdot \left({\frac {2}{3}}\right)^{5}\cdot {\frac {4!}{\xi ^{5}}}={\frac {14}{135}}\cdot {\frac {1}{\xi ^{5}}}}
mit
ξ
∈
[
1
,
3
]
{\displaystyle \xi \in [1,3]}
.
Fehlerabschätzung:
|
E
(
f
)
|
≤
14
135
⋅
max
1
≤
ξ
≤
3
|
1
ξ
5
|
=
14
135
⋅
1
1
=
0
,
1
037
¯
{\displaystyle |E(f)|\leq {\frac {14}{135}}\cdot \max _{1\leq \xi \leq 3}\left|{\frac {1}{\xi ^{5}}}\right|={\frac {14}{135}}\cdot {\frac {1}{1}}=0{,}1{\overline {037}}}
Exakter Fehler:
|
E
(
f
)
|
=
|
∫
1
3
1
x
d
x
−
∫
1
3
p
2
(
x
)
d
x
|
=
|
1,098
61
23
…
−
1,093
75
|
=
0,000
48
6229
…
<
0
,
1
037
¯
{\displaystyle |E(f)|=\left|\int \limits _{1}^{3}{\frac {1}{x}}\,dx-\int \limits _{1}^{3}p_{2}(x)\,dx\right|=|1{,}09861\,23\dotso -1{,}09375|=0{,}00048\,6229\dotso <0{,}1{\overline {037}}}