Morse-Smale-System

In der Theorie der dynamischen Systeme lassen sich verschiedene Flüsse und dynamische Systeme unter dem Begriff der Morse-Smale-Systeme zusammenfassen. Morse-Smale-Systeme sind strukturell stabil, d. h. ihr qualitatives Verhalten ändert sich nicht unter geringfügigen Störungen der Parameter.

Definition

Gradientenfluss der Höhenfunktion eines im $\mathbb {R} ^{3}$ eingebetteten Torus. Die stabile Mannigfaltigkeit des einen Sattelpunktes stimmt mit der instabilen Manifaltigkeit des anderen Sattelpunktes überein, die Transversalitätsbedingung ist also nicht erfüllt.

Beispiel eines Morse-Smale-Systems: Gradientenfluss der Höhenfunktion eines leicht gekippten Torus. Die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Sattelpunkte schneiden sich nicht, die Transversalitãtsbedingung ist erfüllt.

Ein dynamisches System ist ein Morse-Smale-System wenn es folgende Bedingungen erfüllt:

• die nichtwandernde Menge besteht aus endlich vielen periodischen Orbiten und Fixpunkten,
• die Vereinigung der periodischen Orbiten (einschließlich der Fixpunkte) ist eine hyperbolische Menge,
• die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten unterschiedlicher Punkte sind transversal zueinander,
• und der Orbit jeden Punktes strebt für $t\to \pm \infty$ jeweils gegen einen periodischen Orbit.

Beispiel

Der Gradientenfluss einer Morse-Funktion ist Morse-Smale wenn alle stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten transversal zueinander sind. Die nichtwandernde Menge besteht dann ausschließlich aus Fixpunkten.

Strukturelle Stabilität

Morse-Smale-Systeme sind strukturell stabil. Der Fluss eines Vektorfeldes auf einer Fläche ist genau dann strukturell stabil, wenn er Morse-Smale ist. In höheren Dimensionen gibt es aber Beispiele strukturell stabiler Systeme, die nicht Morse-Smale sind.

Literatur

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Weblinks

• Morse-Smale systems (Scholarpedia)
• Morse-Smale systems (Encyclopedia of Mathematics)