Mehrfach orthogonale Polynome

Mehrfach orthogonale Polynome sind orthogonale Polynome in einer Variable, welche das Orthogonalitätskriterium bezüglich einer endlichen Familie von Maßen $\mu _{1},\dots ,\mu _{r}$ erfüllen. Sie sind nicht zu verwechseln mit den orthogonalen Polynomen in mehreren Variablen, den multivariablen orthogonalen Polynomen. Die Polynome werden in zwei Klassen unterteilt, genannt Typ 1 und Typ 2.

In der Literatur existieren weitere Namen für die mehrfach orthogonalen Polynome, sie werden u. a. auch als $d$-orthogonale Polynome, Hermite-Padé-Polynome oder polyorthogonale Polynome bezeichnet.

Mehrfach orthogonale Polynome

Gegeben sei ein Multiindex ${\vec {n}}=(n_{1},\dots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ und $r$ positive Maße $\mu _{1},\dots ,\mu _{r}$ über den reellen Zahlen. Wie üblich ist $|{\vec {n}}|=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}$.

MOP vom Typ 1

Die Polynome vom Typ 1 werden als $A_{{\vec {n}},j}$ für $j=1,2,\dots ,r$ notiert und als Vektor zusammengefasst $(A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r})$, wobei das $j$-te Polynom $A_{{\vec {n}},j}$ höchstens vom Grad $n_{j}-1$ sein kann. Weiter soll gelten

$\sum \limits _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{k}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,|{\vec {n}}|-2,$

sowie

$\sum \limits _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{|{\vec {n}}|-1}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=1.$

Erläuterungen

Wir haben also ein System von $|{\vec {n}}|$ Gleichungen für die $|{\vec {n}}|$ Koeffizienten der Polynome $A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r}$ definiert.

MOP vom Typ 2

Ein Polynom $P_{\vec {n}}(x)$ ist vom Typ 2, wenn es monisch ist und vom Grad $|{\vec {n}}|$ sowie folgendes Orthogonalitätskriterium erfüllt ist:

$\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{j}-1,\qquad j=1,\dots ,r.$

Erläuterungen

Schreiben wir $j=1,\dots ,r$ aus, erhalten wir folgende Definition der MOP vom Typ 2

$\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{1}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{1}-1$

$\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{2}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{2}-1$

$\vdots$

$\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{r}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{r}-1$

Literatur

• Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2 (Kapitel 23). 
• Andrei Martinez-Finkelshtein und Walter Van Assche: WHAT IS... A Multiple Orthogonal Polynomial. In: Notices of the American Mathematical Society. Band 63, 2016, S. 1029–1031. 
• Walter Van Assche und Els Coussement: Some classical multiple orthogonal polynomials. In: Elsevier (Hrsg.): Journal of Computational and Applied Mathematics. Band 127, Nr. 1-2, 2001, S. 317–347, doi:10.1016/s0377-0427(00)00503-3.