Makroskopische Dimension

Begriff aus der Mathematik

In der Mathematik ist die makroskopische Dimension eine Invariante metrischer Räume.

Definition

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Sei   ein metrischer Raum und  , dann bezeichnen wir mit   den Durchmesser von  . Eine Funktion   heißt gleichmäßig kobeschränkt (englisch uniformly cobounded), falls eine Konstant   existiert, so dass für alle   gilt

 

Mit anderen Worten es existiert eine gleichmäßige obere Schranke   für die Größe der Urbilder von  .

  hat eine makroskopische Dimension   kleiner oder gleich  ,  , falls eine stetige, gleichmäßig kobeschränkte Abbildung   in einen  -dimensionalen Simplizialkomplex   existiert.

Vergleich mit anderen Dimensionsbegriffen

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Die mikroskopische Dimension ist kleiner oder gleich der asymptotischen Dimension sowie kleiner oder gleich der Überdeckungsdimension.

Gromovs Vermutung

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Für kompakte  -dimensionale Mannigfaltigkeiten positiver Skalarkrümmung   soll nach einer Vermutung von Gromov die makroskopische Dimension der universellen Überlagerung höchstens   sein.

Das motivierende Beispiel sind Mannigfaltigkeiten der Form   für eine kompakte,  -dimensionale Mannigfaltigkeit  . Diese tragen stets Metriken positiver Skalarkrümmung und ihre universelle Überlagerung hat makroskopische Dimension höchstens  .

Eine andere, in ihrer allgemeinen Fassung aber durch Gegenbeispiele widerlegte, Vermutung Gromovs besagte, dass für kompakte  -Mannigfaltigkeiten, deren universelle Überlagerung makroskopische Dimension kleiner oder gleich   ist, das Bild der Fundamentalklasse nach der klassifizierenden Abbildung der Fundamentalgruppe   in   verschwindet.

Dranishnikov bewies, dass die makroskopische Dimension der universellen Überlagerung genau dann kleiner oder gleich   ist, wenn das Bild der Fundamentalklasse in der ganzzahligen groben Homologie verschwindet.[1]

Literatur

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  • M. Gromov: Positive curvature, macroscopic dimension, spectral gaps and higher signatures. Gindikin, Simon (ed.) et al., Functional analysis on the eve of the 21st century. Volume II. In honor of the eightieth birthday of I. M. Gelfand. Proceedings of a conference, held at Rutgers University, New Brunswick, NJ, USA, October 24-27, 1993. Boston, MA: Birkhäuser. Prog. Math. 132, 1-213 (1996).

Einzelnachweise

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  1. A. Dranishnikov: On macroscopic dimension of rationally essential manifolds. Geom. Topol. 15, No. 2, 1107-1124 (2011).