Kompressionskörpergraph

Begriff aus der niedrigdimensionalen Topologie

In der Mathematik ist der Kompressionskörpergraph ein Begriff aus der niedrigdimensionalen Topologie.

Definition

Bearbeiten

Sei   eine geschlossene Fläche. Ein Kompressionskörper   entsteht aus dem Produkt   durch Ankleben von 2-Henkeln entlang  . Das Produkt   wird als trivialer Kompressionskörper bezeichnet. Ein markierter Kompressionskörper   ist ein Kompressionskörper   mit einem festgelegten Homöomorphismus   (einer Markierung).

Der Kompressionskörpergraph von   ist der Graph, dessen Knoten die Isomorphieklassen nichttrivialer markierter Kompressionskörper sind, und in dem zwei Kompressionskörpern   und   entsprechende Knoten genau dann adjazent sind, wenn   in   oder   in   enthalten ist.

Automorphismen

Bearbeiten

Man hat für Flächen vom Geschlecht   einen surjektiven Homomorphismus der Abbildungsklassengruppe von   auf die Gruppe der Graphisomorphismen des Kompressionskörpergraphen. Er ist ein Isomorphismus, wenn   ist. Für eine Fläche vom Geschlecht   wird der Kern von der hyperelliptischen Involution erzeugt.[1]

Geometrie

Bearbeiten

Der Kompressionskörpergraph ist quasi-isometrisch zu der Elektrifizierung des Kurvenkomplexes, also dem Raum, den man aus dem Kurvenkomplex durch Bilden der Kegel über allen Scheibenmengen markierter Kompressionskörper erhält. (Die Scheibenmenge eines markierten Kompressionskörpers besteht aus den Isotopieklassen derjenigen geschlossenen Kurven in  , die eine Kreisscheibe im Kompressonskörper beranden.)

Da der Kurvenkomplex Gromov-hyperbolisch ist, ist damit auch der Kompressionskörpergraph hyperbolisch.

Der Kompressionskörpergraph hat unendlichen Durchmesser.[2]

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Ian Biringer, Nicholas G. Vlamis: Automorphisms of the compression body graph. In: Journal of the London Mathematical Society. Serie 2, Band 95, Nummer 1, 2017, S. 94–114, doi:10.1112/jlms.12011.
  2. Joseph Maher, Saul Schleimer: The compression body graph has infinite diameter. In: Algebraic & Geometric Topology. Band 21, Nummer 4, 2021, S. 1817–1856, doi:10.2140/agt.2021.21.1817.